strongart数学笔记：谈谈调和分析中的极大函数

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1、谈谈调和分析中的极大函数从经典实分析（实变函数）到近代调和分析的过渡中，极大函数可以说是一个标志性的概念，一般出现在实分析的末尾与近现代调和分析的开篇。同时，极大函数又是一个比较难理解的概念，原因大概就在于它属于构造型的概念，非常缺少便于把握的实例。极大函数一般定义为（Mf)(x)=sup{

2、B

3、^(-1)∫B

4、f（x）

5、dx}，其中sup在满足一定条件的可测集族中取值。事实上，为了右边积分的方便，最常见的取值范围就是球体与方体，分别对应的球体极大函数与方体极大函数（按照x是否必须是中心，还分别有中心与非中心的差别）。可即便如此，还

6、有取上确界这个障碍，能得到Mf的简单表达式的情形，似乎就只有一些简单图形的特征函数（及其数乘），这时积分可以当做图形的测度来处理，上确界可以通过某种条件最小图直接看出。此外，一个富有启发的例子就是某点P的δ分布，极大值可取为包含P的最小图，而对于非常接近δ分布的函数，它就在P点的某个小邻域中取极大，因此一般并不是这个函数的支集。我们先以球形中心极大函数为例，讨论一下Mf的一些性质，主要就是说明它是弱（1,1）与（p，p）型的（1＜p≤∞）。首先，直接的估计可以得到Mf是（∞，∞）的，假若能够证明它的弱（1,1）的，那么由Marcie

7、nkiewiczinterpolationtheorem可知，它是（p，p）型的（1＜p≤∞）。在弱（1,1）型的估计中，使用覆盖引理是一个关键，其基本思想是相应图形的不交化，这样的过程常常是不计代价的，我把它概括为∫A∩B≤∫A+∫B≤2∫X。当然，以上只是一般模式，在具体问题中可以灵活处理，比如在二进方体的极大函数中，两个二进方体若没有包含关系，那么它们天然的不相交，因此可以通过取极大的可能方体来代替覆盖引理，而相应的对强（p，p）型则可以直接估计，这样得到的界常数要远优于插值定理。假设我们已经建立球中心极大函数，那就可以借助球

8、中心极大函数来估计方体以及非中心的情况。其实。只要A类图形与B类图形存在测度有限的相互嵌套，就存在相互估计的关系，对此我把它概括为：

9、B

10、/

11、a

12、≤（{

13、A

14、^(-1)∫A）/({

15、B

16、^(-1)∫B)≤

17、b

18、/

19、A

20、，其中小写字母代表相应的图形比较小。这样看来，我们完全可以用正三角形、正五边形之类的图形来代替球体，只是这些图形大都会给积分带来很大障碍，稍微有点价值的也就是各边比例固定的长方体了。为什么一定要强调各边比例固定呢？若是存在任意的比例，那么一个非常狭长的方体就可能要求一个非常大的球，也就没有这样的估计关系了。我们讨论一下

21、一般的长方体极大函数，先来看所谓标准长方体的情形，即要求其各边都平行于坐标轴。这个标准化的条件使得我们可以把长方体极大函数放大为关于各坐标轴的方向极大函数的复合（拆开处理更加细致，得到的上确界就更大），而方向极大函数本质上是一维的极大函数，因而通过多次借助它的（p，p）型来得到长方体极大函数也是（p，p）型的（1＜p≤∞）。但遗憾的是，这样的做法对偌型估计不适用，事实上它并不是弱（1,1）型的，对此我们在二维条件下进行说明。考虑单位方体A=[0,1]×[0,1]的特征函数χ的极大函数，只要考虑（1,1）点有右上角区域，有（Mχ）((

22、x,y))=1/xy,若x,y＞1，这样对任意α＜1，可以得到

23、Mχ＞α

24、≥

25、{(x,y);xy＜1/α,x＞1，y＞1}

26、=(logα)/α，因此标准长方体极大函数并不是弱（1,1）的。假若我们的长方体是任意的，那么它甚至不是弱（p，p）型的（1＜p＜∞），只是说明这一点需要更加精密的分析。同样考虑二维的情形，先介绍一下所谓的Besicovitchset（其存在性的证明比较冗长，感兴趣的读者请参阅EliasM.Stein：HarmonicAnalysis中的ChapterX.1），它是指2^N个长为1，宽为2^(-N)的高度重叠的

27、狭长方体之并，满足当N充分大时，它是测度充分小。同时，各个方体沿长边平移两个单位可得到一个分身，它还满足分身之间彼此两两不交，因此所有分身的测度之和是1。下面考虑Besicovitchset的特征函数χ，其Lp估计是关于N充分小的，但对分身中任何一点，其极大函数必大于1/12（最糟的情况就是此点接近分身的远离本体的某一顶点）,这样就有弱估计

28、{Mχ＞1/12}

29、≥1，因此任意的长方体极大函数并不是弱（p，p）的（1＜p＜∞）。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数

30、学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我