strongart数学笔记：漫谈函数概念的几点推广

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1、漫谈函数概念的几点推广最原始意义上的函数是指数域到数域的映射，它有三个要素：定义域、对应法则与值域，其中值域由定义域与对应法则唯一确定。而所谓映射则要宽泛的多，只需要集合对集合之间的多对一对应就可以了，这样的多对一的对应自然遗传到函数的概念之中。其实，更加广泛的多对多的对应可以转化为映射，万能的办法是在值域中取积空间，但具体情境中我们总是采用一些自然的办法，比如复分析中可以对多值函数构造黎曼曲面。函数的概念有着很多推广，这些推广主要是取消定义域或值域的数域限制，因而介于最原始意义的函数与一般的映射之间。稍微平凡的一点情形就是从数域推广

2、到欧式空间，引入所谓的有限维向量函数，而对于光滑的情形，则是更进一步的引入流形之间的映射。然而，考虑到上面对值域积空间处理，我们可能还需要无限维的值域，由此推广出在Banachspace取值的抽象函数。事实上，对这样一种函数，我们可以通过共轭空间的方式转化为普通的函数，即考虑这样的复合：数域→Banachspace→数域，进而建立它的（弱可测）积分理论。这里我们主要借助于数域的可测结构，因而可以将定义域推广为更一般的可测空间，以建立更为抽象的积分理论。也许有人会想到，有没有BanachSpace到数域的函数乃至Banachspace之

3、间的函数呢？这当然是有的，而且它们还有自己特别的名称，所以我宁可从另一个角度来谈这个问题。我们喜欢把函数简记为f（x），其中f代言对应法则，x代言自变量，不知道有没有人不小心写反过，把它写成了x（f），由此就产生了这样的幻觉，为什么不能让x代言对应法则，而让f成为自变量呢？让函数本身能为自变量，构造出函数的函数，这就是传说中的泛函了。我们一般只考虑某些有特定意义的函数，比如说是闭区间上的连续函数，这样它本身就构成一个Banachspace，在x的取值就够成一个Banachspace到数域的映射，当然这里的泛函只是平凡的赋值泛函而已。让

4、我们再考虑更一般的情形，Banachspace到Banachspace之间的映射称为算子，泛函分析某些领域就是把算子本身作为研究对象的，甚至是考虑由满足一定条件的算子所构成的范畴（比如C*代数），然后再考虑它们之间的态射，这被称为是算子代数。如果说泛函是研究函数的函数的话，那么算子代数就是研究算子的算子了。还是回到比较平凡的领域来，我们小学时就考虑过一类特殊的函数，比如线段的长度、三角形的面积等等，这实际上是几何体到数域的映射。对于这里的几何体，我们似乎只需要它的可度量结构，因而可以推广为可测空间到非负实数的映射，也就是所谓的测度。此

5、后的一个显而易见的推广就是取消非负实数的限制，可这样一来可测性是不是也显得多余了呢？我们可以透视一下它的本质，其实只是一些集合而已，既然我们详细研究过数到数的映射（即函数），又讨论了一般的集合到集合的映射（一般意义的映射），为什么就没有详细讨论集合到数的映射呢？据我所知，似乎有一门称为集值分析的新兴分支与此相关，只是不知为何更侧重于应用方面。由于本人学力所限，关于函数概念的一些推广，就先随想到这里了，希望能给读者带来一些启发。要是有什么有趣的想法，请留下您的宝贵意见。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自

6、学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。