strongart数学笔记：高中以后学什么数学

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1、高中以后学什么数学如果你喜欢数学，那么上大学就一定要报数学专业，其他专业即使是理工科的，学的高等数学之类也仅仅是一层皮毛。除非你能够顽强的自学，否则你的数学生涯就GAMEOVER了。当然，即使你报了数学专业，到最后还是要依靠自学。从这个意义上来说，报什么专业就真的无所谓了，只要负担轻就OK了。下面的图表简单罗列了高中以后的数学到底可以走到哪里（并未涉及数论、集合论之类的另类领域）,也许你会感到有点恐怖，其实我大学时数学大致就学了这些：因为那时候没有人交流，也不是太懂得节约时间。可遗憾的是有些不怎么认真数学专业研究生，也无非是在一两个方向入门罢了：高中以后的数学（当然是专业的）课程

2、要大致由三个部分组成，分析、代数和几何，但我认为现行的教育安排是非常失衡的。大致说来是，数学分析太臃肿，高等代数没前途，解析几何又太狭隘。下面我就结合自己的经历来谈谈这个问题：先来看分析，很多同学都认为数学分析难学，因为它涉及的东西太多太琐碎了。既有各种初级计算技巧，甚至包括近似估计；又有深刻的理论推导，有时还一些先进的思想压缩到初步的理论中，却不能充分展开。我那时就是疲于应付，最后还是不得不退化为微积分，却又往往有所顾及，不像头脑简单的时候可以肆无忌惮的享受着计算的快乐。其实实数公理部分的不少证明细节得到平面点集拓扑才能充分展开（毕竟圆盘的覆盖要比区间的覆盖更加直观一些），又如

3、像一致收敛这样的概念到函数空间中用确界范数才能自然理解的，而这一切都被压缩到数学分析之中。要解决这个困难，比较方便的办法的把数学分析分成两个部分，初等的部分相当于稍微严格的微积分，还可以把初步的微分方程与曲线曲面理论放入其中，重在对具体问题的解决与计算技术的熟练化（以后就用不着再害怕计算了）。我想，在彻底严格化之前先做一番计算练习，这应该是非常有趣的。等有了这样的微积分基础之后，同时严格抽象的思想也已经从代数学中建立起来，这是就可以把它们汇合起来，向分析的主干挺进。此时的自由度也相应提高，再介绍一点初等拓扑、范数内积、Lebesgue积分、外微分什么的也都是不错的课题，对多变量的

4、情形也可以用向量来统一处理，甚至还可以把关于复函数的初步理论吸收进来。然后看代数，高等仿佛没有什么后续课程的支持，矩阵论似乎往往与近似计算结合起来，从而更侧重应用。所以如果说到基础的话，无无疑应该是抽象代数才对。如果四年学下来，就大致了解一些群、环、域，没看到后面更加精彩的内容，恐怕就非常可惜了。我认为为高等代数应该被吸收到抽象代数里，数学专业的代数学一开始就应该讲群，让学生看到数学结构是怎样抽象出来的，也能熟悉如何在抽象的基础上分析问题。这里选代数作为培养抽象思想的突破口是因为它比较纯洁，不像分析那样依赖很多计算，而且也不用多少背景知识。如果以后再处理初等材料的话，自然就有居高

5、临下的优越感，而线性代数的主要部分自然可以在模的角度来统一处理（高等线性代数），具体依赖数域的部分则可以作为专题——有所得就有所失，抽象也不是万能的啊！此外，先介绍群还可以作为几何学的预备知识。当然，一开始的介绍不宜太深入，作为基础至多到Sylow定理就可以了，后面还有专门的异常丰富的抽象代数课程呢。几何的话，很多人认为入门的几何就是解析几何，但现有解析几何往往只是在熟悉常见曲面方程。其实，解析几何的概念可以推广至微分几何之前几何（包括现在所谓高等几何中非介绍性的部分），其要点在于强调群作用观点与射影空间的直观。群作用观点可以给出几何学的大体的框架，让我们知道自己是在什么舞台上活

6、动，这样的舞台可以一直渗透到微分几何中。射影空间则可以与熟悉欧式空间相类比，对以后的代数几何也是一种直观，否则我们往往无从得知自己的把什么东西在代数化。比如我那时没注意射影几何，看到“P^2的任意两条直线都是相交的”的时候，就感到无所适从了。微分几何一定要尽早介绍流形，其实放到第一章也是无妨的。在熟悉了平直的欧式空间之后（多变量分析），推广到一般的流形上也是大势所趋，并没有什么太大的跳跃。此后就可以在这样框架下介绍直线与曲面，其实R^3中的很多问题在一般的空间中一样可以处理（比如测地线方程之类都是差不多的），像高中那样用两年时间研究平面二次曲线（还不包括一般理论）实在是太奢侈了。

7、如果在R^3中有趣的东西都可以专门处理，也可以让大家清楚到底它们为什么是有趣的。记得我那时R^3的微分几何都忘得差不多了，黎曼几何不也一样在学嘛。其实，有些观点高的东西并不一点是难学的，有的东西难学恰恰是用低观点来解决高级领域的问题造成的。也许又有人会谈基础的重要性，但真要强调基础的话，各人的基础都是相对有差异的，不排除某些牛人能把范畴同调之类的作为他自己的基础。合理的学习路径应该是从最容易入手的地方切入，看看最后究竟能够走到哪里，所以不要让我们的学生长时间滞留那些初等的领域。只