strongart数学笔记：从单复变函数到多复变函数

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1、从单复变函数到多复变函数复变函数论的高维推广似乎并不像实变函数论那样为人所熟知，但我想其基本思想应该是一致的：以单复变函数理论作为基础模型，看看哪些理论是可以自然推广的，哪些理论推广时会遇到困难，这样的困难只是因为高维运算过于繁琐呢，还是有本质性的因素使之不能成立，既然现有的理论不能够成立，那又会出现什么新的构造呢？一般而言，分析方面结论大都可以自然推广。最基本的恐怕要数幂级数了，幂级数的收敛不仅有相应的命题推广，而且还是一种重要的讨论方法，在证明全纯域与全纯凸域等价的过程中起着基础性的作用。此外还有Cauchy-Riemannequation，在多复变理论中，我们经常

2、使用的是共轭导数为零的形式。值得注意的是，在n维复空间中这样的方程有n^2个，这就暗示着在高维（即n＞1）复空间中对单复变几何理论至关重要的Riemannmappingtheorem不再成立。一旦涉及到几何，单复变理论的推广就会受到限制。先来看最基本的几何图形，复变函数中的圆在多复变理论中有两种常见的对应物，一种是无差别对称的球，另一种则是融合了复结构的多圆盘。当我们推广Cauchyintegralformula时，原本的积分圆周就会自然转化为多圆盘。值得注意的是，这里被积分的并不是多圆盘的边界，而只是其边界的一部分，被称为骨架，这是积（带边）流形的边界并不等于流形边界

3、的积的一个自然实例。幸运的是，利用Cauchyintegralformula，我们可以得到与单复变理论中类似的Cauchyinequality、唯一性定理、最大模原理、（球或多圆盘上的）Schwarzlemma等重要定理，而由Schwarzlemma可以证明高维球与多圆盘并不是双全纯等价的，因此高维Riemannmappingtheorem不成立。利用Cauchyintegralformula，我们还可以通过积分定义全纯函数，这也是可以推广至多复分析的常用技术。它的一个成果就是可以轻松得到连续性假设下的Hartogstheorem，更精密的分析证明了这里的连续性假设是可

4、以省略的，n元复函数全纯iff其各分量全纯，这就是多复变理论中著名的Hartogstheorem.与之相关的一个现象就是所谓的Hartogsphenomenon，它是说高维全纯函数不存在孤立奇点。考虑零点的情形（仅差一个倒数而已），这个结论也不难理解，n维（复）空间中的一个（复）方程的零点通常是n-1维的，只有在n=1的情形时才会出现孤立点！在高维复空间中，并不是任意一点都可以作为全纯函数的零点，因此我们考虑怎样区域边界恰好能作为零点集，于是便得到所谓全纯域的概念，它可定义为某个全纯函数的极大定义域（沙巴特的《复分析导论第2卷：多复变函数》中还强调要排除多值性，这里暂时

5、不考虑那么精致）。然而，零点的思想方法还是被保留了下来，得到所谓边界上的障碍（无界点）判据：边界上存在稠密障碍的区域必为全纯域。在一维情形中，任意点w都可以作为障碍（考虑f（z）=1/（z-w）），因此任意区域都是全纯域，可见全纯域只有高维复空间中才有其价值。利用这里的障碍判据，还可以证明欧式凸域比为全纯域，但反之如何呢？这里处理欧式凸域需要一个视角转化，把欧式凸域视为线性凸包。对此转化其重要作用是单复变理论中的Rungetheorem，它暗示着多项式凸包的概念。因此，我们完全可以仿照定义全纯凸包，它要弱于前两种凸包。还是沙巴特的那本书中给了个非常有趣的直观解释：区域多

6、项式凸包填满了内部的“洞”，而欧式凸包则进一步填满了边界的“坑”。借助于幂级数的讨论，可以得到全纯凸性的同步延拓引理：在多圆盘度量的意义上可延拓紧集的全纯凸包也是可延拓的。全纯凸包等于自身的区域称为全纯凸域，先用全纯凸域在内部穷竭，再构造收敛幂级数可以证明全纯凸域必为全纯域；而利用同步延拓引理则可以证明全纯域必为全纯凸域，也就是说全纯域与全纯凸域这两者是等价的。还有一个与全纯域等价的概念称为伪凸域。它的一个优点就是可以局部判定，伪凸域等价于局部伪凸域，这与全纯域的边界障碍不谋而合。伪凸域的一个动机是实空间中可微函数的凸性判定，即对边界（二阶）光滑的区域而言，它是欧式凸域

7、等价于其定义函数的Hessian限制在切平面上半正定。类似推广到复Hessian与全纯切空间就得到了边界光滑情形的伪凸域，这里的Hessian则密切联系着多次调和函数的概念，后者的均值不等式性质是讨论的重要工具。这里最关键的函数是-lnd（Z），其中d（Z）是复空间中点Z到区域的距离，这个函数对于全纯域是多次调和函数，而当它是多次调和函数时，又等价于局部的伪凸性。然而，我们还需要去掉边界光滑的限制，为此定义伪凸域是可被多次调和函数穷竭的。事实上，这里的多次调和函数还可以被光滑化与严格化，加强为光滑的强多次调和函数，甚至还能再要求其Hess