复变函数课件--复变函数6 留数

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1、第五章留数§1孤立奇点函数不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<

2、z-z0

3、

4、z-z0

5、

6、z-z0

7、

8、z-z0

9、

10、-z0)+...+cn(z-z0)n+...,从而函数f(z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.2.极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点.上式也可写成其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在

11、z-z0

12、

13、解析的函数,且g(z0)0.反过来,当任何一个函数f(z)能表示为(*)的形式,且g(z0)0时,则z0是f(z)的m级极点.如果z0为f(z)的极点,由(*)式,就有3.本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.4.函数的零点与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.例

14、如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点.根据这个定义,我们可以得到以下结论:如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.这是因为,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，易证z0是f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数c0=c1=...=cm-1=0,cm0,这等价于f(n)(z0)=0,(n=0,1,

15、2,...,m-1),f(m)(z0)0。例如z=1是f(z)=z3-1的零点,由于f'(1)=3z2

16、z=1=30,从而知z=1是f(z)的一级零点.由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以给定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.定理如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是的m级零点,反过来也成立.这个定理为判断函数的极点提供了一个较

17、为简单的方法.例2例3对讨论函数在处的性态。5.函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R<

18、z

19、<内解析,称点为f(z)的孤立奇点.作变换把扩充z平面上的去心邻域R<

20、z

21、<+映射成扩充w平面上原点的去心邻域：又.这样,我们可把在去心邻域R<

22、z

23、<+对f(z)的研究变为在内对j(w)的研究.显然j(w)在内解析,所以w=0是孤立奇点.f(z)在无穷远点z=的奇点类型等价于j(w)在w=0的奇点类型。即z=是f(z)的可去奇点,极点或本性奇点,完全看极限是否存在(有限值),

24、为无穷大或即不存在又不是无穷大来决定.例题1例题2例题3§2留数留数的定义及留数定理如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那末根据柯西积分定理但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0<

25、z-z0

26、

27、z-z0

28、

29、],即定理一(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注意定理中的条件要满足。例如不能应用留数定理。求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中(z