复变函数留数课件.ppt

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1、第五章留数§5.1孤立奇点1.定义2.分类3.性质4.零点与极点的关系5.函数在无穷远点的状态1.定义例如----z=0为孤立奇点----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇点----z=1为孤立奇点定义~~~~~~~~~xyo这说明奇点未必是孤立的。2.分类以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数,根据展开式的不同情况,将孤立点进行分类。考察:特点:没有负幂次项特点:只有有限多个负幂次项特点:有无穷多个负幂次项定义设z0是f(z)的一个孤立奇点,在z0的去心邻域内,若f(z)的洛朗级数没有负幂次项,称z=z0为可去奇点;只有有限多个负幂次项,称z=z0为m阶极点;有

2、无穷多个负幂次项,称z=z0为本性奇点。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.性质若z0为f(z)的可去奇点若z0为f(z)的m(m1)阶极点例如:z=1为f(z)的一个三阶极点,z=i为f(z)的一阶极点。若z0为f(z)的本性奇点4.零点与极点的关系定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成则称z=z0为f(z)的m阶零点。例如:定理事实上,必要性得证!充分性略!例如定理:证明“”若z0为f(z)的m阶极点例解显然,z=i是(1+z2)的一阶零点综合5.函数在无穷远点的状态定义规定1.留数的定义2.留数定理3.留数的计算规则4.在无穷远点的留数§5.2留数(R

3、esidue)1.留数的定义定义设z0为f(z)的孤立奇点,f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数,记作Res[f(z),z0]或Resf(z0)。由留数定义,Res[f(z),z0]=c–1(1)2.留数定理定理证明Dcznz1z3z2由复合闭路定理得:用2i除上式两边得:得证!求沿闭曲线c的积分,归之为求在c中各孤立奇点的留数。一般求Res[f(z),z0]是采用将f(z)在z0邻域内展开成洛朗级数求系数c–1的方法,但如果能先知道奇点的类型,对求留数更为有利。以下就三类孤立奇点进行讨论:3.留数的计算规则规则I规则II事实上,

4、由条件当m=1时,式(5)即为式(4).规则III事实上,例1解例2解例3解例4解故 由留数定理得:(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数,不要死套规则。如是f(z)的三阶极点。---该方法较规则II更简单!(2)由规则II的推导过程知,在使用规则II时,可将m取得比实际级数高,这可使计算更简单。如3.在无穷远点的留数定义由此得定理如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点(包括无穷远点),那么f(z)在所有孤立奇点的留数和等于零。§5.3留数在定积分计算上的应用在数学分析中,以及许多实际问题中,往往要求计算出一些定积分或反常积分的值,而这些积分中的被积函数的原函数,不能用初等函数

5、表示出来;例如或者有时可以求出原函数,但计算也往往非常复杂,例如(2)利用留数计算积分,没有一些通用的方法,我们主要通过例子进行讨论;利用留数计算积分的特点:(1)利用留数定理,我们把计算一些积分的问题,转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数,从而大大化简了计算;例1.计算积分其中常数a>1.解:令而且当t从0增加到时,z按反时针方向绕圆C:

6、z

7、=1一周.因此于是应用留数定理,只需计算在

8、z

9、<1内极点处的留数,就可求出I.上面的被积函数有两个极点:显然因此被积函数在

10、z

11、<1内只有一个极点z1,而它在这点的留数是:于是求得结论1.计算形如的积分,其中R(x,y)是有理分式,并且在圆C

12、:

13、z

14、=1上,分母不等于零时可得:例2.计算积分解:首先,这是一个广义积分,它显然是收敛的.我们应用留数定理来计算它.考虑函数这个函数有两个二阶极点,在上半平面上的一个是z=i.作以O为心、r为半径的圆盘.其中表示Cr上的圆弧部分,沿它的积分是按幅角增加的方向取的.考虑这一圆盘在上半平面的部分,设其边界为Cr.取r>1,那么z=i包含在Cr的内区域内,沿Cr取的积分,得现在估计积分我们有因此令,就得到结论2.应用同样得方法,我们可以计算一般形如的积分,其中R(x)是有理分式,分母在实轴上不为零,并且分母的次数比分子的次数至少高2次.例3.计算积分解:取r>0,则有函数在时有一阶极点z=

15、i外,在其他每一点都解析,取积分区域如图,而只要取r>1.于是我们有于是我们有其中表示Cr上的圆弧部分,沿它的积分是按幅角增加的方向取的.结论3.应用同样得方法,我们可以计算一般形如的积分,其中R(x)是有理分式,分母在实轴上不为零,并且分母的次数比分子的次数至少高1次.其中R(x,y)是有理分式,并且在圆C:

16、z

17、=1上,分母不等于零.结论1:其中R(x)是有理分式,分母在实轴上不为零,并且分母的次数比分子的次数至少高2次.结论2

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