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1、CH5留数1、孤立奇点2、留数(Residue)3、留数在定积分计算上的应用§5.1孤立奇点1.定义2.分类3.性质4.零点与极点的关系5.函数在无穷远点的状态1.定义例如----z=0为孤立奇点----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇点----z=1为孤立奇点定义~~~~~~~~~xyo这说明奇点未必是孤立的.2.分类以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类.考察：特点：没有负幂次项特点：只有有限多个负幂次项特点：有无穷多个负幂次项定
2、义设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;只有有限多个负幂次项，称z=z0为m阶极点;有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.性质若z0为f(z)的可去奇点若z0为f(z)的m(m1)阶极点例如：z=1为f(z)的一个三阶极点，z=i为f(z)的一阶极点.若z0为f(z)的本性奇点4.零点与极点的关系定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成则称z=z0为f(z)的m阶零点
3、.例如：定理事实上，必要性得证！充分性略！例如定理:证明“”若z0为f(z)的m阶极点例解显然，z=i是(1+z2)的一阶零点综合5.函数在无穷远点的状态定义规定1.留数的定义2.留数定理3.留数的计算规则4.在无穷远点的留数§5.2留数(Residue)1.留数的定义定义设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]或Resf(z0).由留数定义,Res[f(z),z0]=c–1(1)2.留
4、数定理定理证明Dcznz1z3z2由复合闭路定理得：用2i除上式两边得:得证！求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数.一般求Res[f(z),z0]是采用将f(z)在z0邻域内展开成洛朗级数求系数c–1的方法,但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利.以下就三类孤立奇点进行讨论：3.留数的计算规则规则I规则II事实上，由条件当m=1时，式(5)即为式(4).规则III事实上，例1解例2解例3解例4解故 由留数定理得：(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则.如是f(z
5、)的三阶极点.---该方法较规则II更简单！(2)由规则II的推导过程知，在使用规则II时，可将m取得比实际级数高，这可使计算更简单.如3.在无穷远点的留数定义由此得定理如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点（包括无穷远点），那么f(z)在所有孤立奇点的留数和等于零.§5.3留数在定积分计算上的应用在数学分析中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如（2）利用留数
6、计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；利用留数计算积分的特点：（1）利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；例1.计算积分其中常数a>1.解：令而且当t从0增加到时，z按逆时针方向绕圆C:
7、z
8、=1一周.因此于是应用留数定理，只需计算在
9、z
10、<1内极点处的留数，就可求出I.上面的被积函数有两个极点：显然因此被积函数在
11、z
12、<1内只有一个极点z1，而它在这点的留数是：于是求得结论1.计算形如的积分，其中R(x,y)是有理分式
13、，并且在圆C:
14、z
15、=1上，分母不等于零时可得：例2.计算积分解：首先，这是一个广义积分，它显然是收敛的.我们应用留数定理来计算它.考虑函数这个函数有两个二阶极点，在上半平面上的一个是z=i.作以O为心、r为半径的圆盘.其中表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的.考虑这一圆盘在上半平面的部分，设其边界为Cr.取r>1，那么z=i包含在Cr的内区域内,沿Cr取的积分，得现在估计积分我们有因此令，就得到结论2.应用同样得方法，我们可以计算一般形如的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴
16、上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次.例3.计算积分解：取r>0，则有函数在时有一阶极点z=i外，在其他每一点都解析,取积分区域如图，而只要取r>1.于是我们有于是我们有其中表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的.结论3.应用同样得方法，我们可以计算一般形如的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高1次.其中R(x,y)是有理分式，并且在圆C:
17、z
18、=1上，分母不等于零.结论1：其中R(x)是有理分式
