复变函数：第5章留数.ppt

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1、第4章级数本章的学习目标了解幂级数的概念;会求泰勒级数;会把函数在展开成幂级数;知道幂级数和罗伦级数的区别与联系;会求函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数.4.1幂级数4.1.1幂级数的概念同实变函数一样,关于幂级数也有:1.收敛圆与收敛半径2.级数在其收敛圆内有如下性质:1)可以逐项求导.2)可以逐项积分.3)在收敛圆内,幂级数的和函数是解析函数.例1求的收敛半径(并讨论在收敛圆周上的情形)解:因为所以,收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散.在圆周上,原级数收敛,所以原级数在收敛圆内和收敛圆周上处处收敛.4.1.2泰勒级数我们经常利用泰勒展开式的

2、唯一性及幂级数的运算和性质(级数在其收敛圆内可以逐项求导,可以逐项积分)来把函数展开成幂级数,即利用间接的方法,把函数展开成幂级数.4.1.2泰勒级数定理一若函数在圆盘内解析,则在该圆盘内可展成的幂级数,这种展式是唯一的,且为(4.1.3)或其中这个公式(4.1.3)称为在的泰勒展开式,它的右端称为在的泰勒级数,称为泰勒系数.利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数,把函数展开成幂级数.(4.1.4)(4.1.5)(4.1.6)(4.1.7)1.只要函数在圆盘内解析,就可在展开成泰勒级数;2.此时泰勒级数,泰勒展开式,的幂级数为同意语;3.若在平面

3、内处处解析,则;4.若只在区域内解析,为内的一点,则在的泰勒展开式的收敛半径等于到的边界上各点的最短距离;5.若在平面上除若干孤立奇点外内处处解析,则等于到最近的孤立奇点的距离.例2把函数展开成的幂级数解:函数在内处处解析,由公式(4.1.7)把上式两边逐项求导,即得所求的展开式罗伦级数定理二设函数在圆环域,内处处解析,那末(4.2.1)其中(4.2.2)4.2罗伦级数幂级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域:内的罗伦级数也具有.1.在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项求导,2.在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项积分,3.在收敛圆环域内的罗伦级数的和

4、函数是解析函数求罗伦展开式的系数罗伦展开式的系数用公式(4.2.2)计算是很麻烦的,由罗伦级数的唯一性,我们可用别的方法,特别是代数运算,代换,求导和积分等方法展开,这样往往必将便利(即间接展开法).同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数一般不同;由罗伦级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的罗伦级数一定相同.例3把函数展开成的级数解:因为所以例4把函数在收敛圆环域内展开成罗伦级数.解:因为所以,例5把函数在收敛圆环域内展开成罗伦级数.解:因为所以,例5把函数在收敛圆环域内展开成罗伦级数.解:因为所以,通过例3、例4、例5可知同一个函数

5、在不同的收敛圆环域内的罗伦级数一般不同;由罗伦级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的罗伦级数一定相同.