复变函数课件--复变函数6留数

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1、第五章留数§1孤立奇点函数不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<

2、z-z0

3、

4、z-z0

5、

6、z-z0

7、

8、z-z0

9、

10、c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,从而函数f(z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.2课件3课件2.极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点.上式也可写成其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,

11、在

12、z-z0

13、

14、一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点.根据这个定义,我们可以得到以下结论:如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.7课件这是因为,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，易证z0是f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数c0=c1=...=cm-1=0,cm

15、0,这等价于f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0。例如z=1是f(z)=z3-1的零点,由于f'(1)=3z2

16、z=1=30,从而知z=1是f(z)的一级零点.由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以给定8课件所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.定理如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是的m

17、级零点,反过来也成立.这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.9课件例210课件例3对讨论函数在处的性态。11课件5.函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R<

18、z

19、<内解析,称点为f(z)的孤立奇点.作变换把扩充z平面上的去心邻域R<

20、z

21、<+映射成扩充w平面上原点的去心邻域：又.这样,我们可把在去心邻域R<

22、z

23、<+对f(z)的研究变为在内对j(w)的研究.显然j(w)在内解析,所以w=0是孤立奇点.f(z)在无穷远点z=的奇点类型等价于j(w)在w=0的奇点

24、类型。12课件即z=是f(z)的可去奇点,极点或本性奇点,完全看极限是否存在(有限值),为无穷大或即不存在又不是无穷大来决定.例题1例题2例题313课件§2留数留数的定义及留数定理如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那末根据柯西积分定理但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0<

25、z-z0

26、

27、..0<

28、z-z0

29、