复变函数笔记

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1、1859年，黎曼研究ζ函数的复零点，提出著名的黎曼猜想(RiemannHypothesis):黎曼ζ函数的非平凡零点的实部都为1/2。延拓的概念和例子： 复变函数要点：（1）基本是三块：cauchy积分理论，weirstass级数理论，riemann映射理论？函数的局部与整体性质：复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是象德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815.10.31-1897.2.19）这样伟大人物工作的中心．对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数;对于

2、Weierstrass而言，一个函数就是一个幂级数．它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式。函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的．然而接下来Abel，Riemann和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围．这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性．局部展开只是看待它们的一种方式．？退而求其次一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微

3、分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们．解的奇异性是真正决定其整体性质的东西．与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了．？曲面的局部与整体性质：在微分几何中，Gauss和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程．只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了．当人们从小范围到大范围时，最有意义

4、的性质就是拓扑的性质． （2）cauchy积分理论更多是方法性的东西，需要你了解解析函数到底是什么，什么是奇点，什么是单连通，复连通区域，区域有洞怎么积分,若尔当曲线的形态（3）级数部分的重点是极点（特殊的奇点），零点，留数，无穷原点的性质（转化成为零点）留数定理。roche定理（4）？最宝贵的理论都在riemann映射部分更加广泛的多对多的对应可以转化为映射（集合对集合之间的多对一对应/1-1对应），？万能的办法是在值域中取积空间，但具体情境中我们总是采用一些自然的办法，比如复分析中可以对多值函数构

5、造黎曼曲面。（5）复变函数研究的对象主要就是解析函数和亚纯函数，亚纯函数可以转化为解析函数（又叫全纯函数）。关于整体和局部可导的概念一般不用初等实/复函这个概念来讨论（初等实函

6、x

7、->初等复函

8、z

9、，在个别点不可导）？实/复连续函数、实/复初等函数（

10、x

11、）均不能保证整体或局部意义上实/复可导？全纯/解析是一个局部概念还是一个整体概念解析函数的导函数连续；解析函数存在任意阶的导数；解析函数的导函数仍然是解析函数解析函数包括了部分非初等函数，？包括所有的初等函数吗（

12、x

13、），？用积分/级数表达非初等函

14、数是等效的（6）？调和函数内部的极值问题仍是最难的数学分析问题之一（7）weirstass和cauchy开创复变函数论的时候大量的资料就是直接来自数学分析的，也就是说复变函数在级数，积分，微分上就是数学分析的一种延伸。（8）1821年开始，法国数学家柯西给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。（9）？由于实数的严格理论未建立起

15、来，所以柯西的极限理论还不可能完善。？数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性。？完备数域、完备空间的概念。？实数/复数/R^n/C^n完备性是微积分（实函/复函/点函/泛函）和点集拓扑的基础；所谓（度量空间或赋范空间或内积空间）完备，就是柯西序列肯定有极限，在一般书上都会有和他等价的几个定理，比如覆盖定理等。（10）？实变函数的中心内容就是测度，勒贝格（Lebesgue，1875.6.28-1941.7.26）测度是在实数集上的一种测度。求面积就是一种测度，测度衡量的是集合的容纳量度，测度实际上

16、是集族中集合到实数集上的映射，具有面积最重要的性质：1求和封闭性，2可列可加性（即对可排列的集合元素，测度函数和求和符号可交换）。（11）算子，就是把一个函数变成另一函数的映射。所谓拓扑度（解释以下为什么叫拓扑度，因为这个概念最先是研究代数拓扑得出的，现在他可以纯分析的定义，也可以用流形上的概念引出），研究的乃是一个映射的解的问题，比如一个一般方程，我们想找到他的解，但找不到表达式，或者说精确解，这时候就研究他有没有解，有几个解。而拓扑度就是衡量解的性状