复变函数课件--复变函数3复变函数的积分.ppt

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1、第三章复变函数的积分（与实函数中二型线积分类比）§3.1复积分的概念线积分复积分一个复积分的实质是两个实二型线积分dz«1课件复积分存在的一个充分条件：复积分的性质：1线性性：2课件例题1（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。解（1）3课件（2）参数方程为可见积分与路径有关。例题2解：4课件例如例题3证明：例如练习5课件例题4解：可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。6课件§3.2柯西积分定理定理1（Cauchy）如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,则它在D内任何一条封闭曲线C的积分为零:注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线.此定理成

2、立的条件之一是曲线C要属于区域D。注2：如果曲线C是D的边界,函数f(z)在D内与C上解析,即在闭区域D+C上解析,甚至f(z)在D内解析,在闭区域D+C上连续,则f(z)在边界上的积分仍然有推论：如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,C属于D，与路径无关仅与起点和终点有关。7课件于是是解析函数。解析函数的导数仍为解析函数特别地例如：注：以上讨论中D为单连通域。这里D为复连通域。8课件可将柯西积分定理推广到多连通域的情况定理2假设C及C1为任意两条简单闭曲线,C1在C内部,设函数f(z)在C及C1所围的二连域D内解析,在边界上连续，则证明：取这说明解析函

3、数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。------闭路变形原理9课件推论（复合闭路定理）：(互不包含且互不相交)，所围成的多连通区域，10课件例题1C如图所示：解：存在f(z)的解析单连通域D包含曲线C，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。从而例题2C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解：11课件（由闭路变形原理）12课件§3.3柯西积分公式若f(z)在D内解析，则分析：.定理(柯西积分公式)如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则---解析函数可用复积分表示。13

4、课件[证]由于f(z)在z0连续,任给e>0,存在d(e)>0,当

5、z-z0

6、

7、f(z)-f(z0)

8、

9、z-z0

10、=R全部在C的内部,且R

11、值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.17课件定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.[证]设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即因此就是要证18课件按柯西积分公式有因此19课件现要证当Dz0时I0,而f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有

12、f(z)

13、M.d为z0到C上各点的最短距离,则取

14、Dz

15、适当地小使其满足

16、

17、Dz

18、

19、z

20、=r>1.[解]1)函数在C内的z=1处不解析,但cospz在C内却是处处解析的.22课件Cauchy不等式：证明：注1：解析函数的导数模的估计与区域的大小有关；注2：23课件Liouville定理：全平面的有界解析函数必为常数。证明：对复平面上任一点z，24课件最大模原理：设D为有界单连通

21、或复闭路多连通区域，证明：注：25课件26课件27课件28课件29课件30课件31课件32课件33课件