复变函数：第3章复变函数的积分

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1、3.1.1复变函数的积分3.1复变函数积分的概念3.1.1积分的定义本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。3.1.2积分存在的条件及其计算方法1)当是连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。3.1.3积分的性质从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分

2、的性质相类似的.我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向.3.1.3积分的性质1234例1计算其中为从原点到点的直线段。解直线的方程可写成又因为容易验证，右边两个线积分都与路线无关，所以的值无论是怎样的曲线都等于例2计算其中为以中心，为半径的正向圆周,为整数.解:的方程可写成所以因此例3计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，1）的线段

3、：解:例4计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，1）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。解:3.2柯西—古萨（Cauchy—Goursat）基本定理3.2.1积分与路经无关问题积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.柯西—古萨（Cauchy—Goursat）基本定理如果函数在单连域内处处解析，那末函数沿内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即3.2.3几个等价定理定理一如果函数在单连域内处处解析，那末积分与连结从起点到终点的路线无关.定理二

4、如果函数在单连域内处处解析，那末函数必为内的解析函数,并且原函数的概念下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首先引入原函数的概念：结论：的任何两个原函数相差一个常数。利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。定理三如果函数在单连域内处处解析，为的一个原函数，那末这里为区域內的两点。例5计算解：例6计算解：例7计算解：例8计算解：3.3基本定理的推广—复合闭路定理我们可以把柯西—古萨基本定理推广到多连域的情况.在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形

5、而改变它的值，这一重要事实，称为闭路变形原理.例9计算的值，为包含圆周在内的任何一条正向简单闭曲线。解:3.4柯西积分公式定理(柯西积分公式)如果函数在区域内处处解析，为内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于,为内的任一点,那末(3.4.1)公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示.例10计算(沿圆周正向)解由公式(3.4.1)得例11计算(沿圆周正向)解由公式(3.4.1)得柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出

6、了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具(见3.5解析函数的高阶导数).一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.3.5解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理定理解析函数的导数仍为解析函数,它的阶导数为:其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于.例12计算其中为正向圆周:解:由公式(3.5.1)得