大学复变函数课件-复变函数的积分.doc

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1、第三章复变函数的积分复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明。本章要建立的柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数论的非常重要的基本定理和公式。第一节、复积分的概念及其简单性质1、复变函数积分的定义：以下涉及的曲线均指光滑或逐段光滑的曲线，逐段光滑的简单闭曲线简称周线。定义3.1设在复平面上有一条连接及两点的简单曲线C。设是在C上的连续函数。其中及是的实部及虚部。把曲线C用分点分成段更小的弧，在这里分点是在曲线C上按从到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一点，那么和式，也可以

2、写成或者在这里分别表示的实部与虚部。按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点的个数无穷增加，而且时，上面的四个式子分别有极限：这时，我们说原和式有极限这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为于是，我们有定理3.1若函数沿曲线连续,则沿可积,且有2、复变函数积分的计算问题如果C是简单光滑曲线：，，并且及相应于及，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成，因此，我们有我们可以看到，把形式地换成微分，就直接得到上式，因此有，当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。

3、3、复变函数积分的基本性质复变函数积分的基本性质：设及在简单曲线C上连续，则有（1）（2）（3），其中曲线C是有光滑的曲线连接而成；（4其中如果曲线用方程：表示，那么曲线就由给出。即积分是在相反的方向上取的。如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）定理3.2(积分估值)如果在C上，

4、f(z)

5、

6、，那么，如果C是闭曲线，即，那么积分都是零。例2、设C是圆，其中是一个复数，是一个正数，那么按反时针方向所取的积分。证明：令，于是，从而第二节柯西积分定理1、柯西积分定理：（证明中用到了第2部分的引理）定理3.3设是单连通区域的解析函数，设是内任一条简单闭曲线（周线），那么,其中，沿曲线的积分是按反时针方向取的。证明：在C上任取一点，可以作出圆盘：,因为圆盘是凸区域，由引理2.2，在内有原函数。由于C是一个紧集，由数学分析中的有限覆盖定理，存在有限多个圆盘覆盖了C；把这些圆盘按反时针方向依次排列为并且用

7、表示在这些圆盘中的原函数。取其中是C上依序按反时针方向取的。由引理2.3，有这里，用表示沿C从到的弧上的积分，用表示从到的线段上的积分。由引理2.3，有因为构成中的一条闭合折线，所以由引理2.1，得；定理3.4设是一条简单闭曲线，函数在以为边界的有界闭区域上解析，那么。推论3.5是在内连接及两点的任一条简单曲线，那么沿从到的积分值由及所确定，而不依赖于曲线，这时，积分记为.证明：设是在内连接及两点的另一条简单曲线。则是D内的一条简单闭曲线，由（1），有,而所以定理的结论成立。定理3.6设是单连通区域的解

8、析函数，那么在内有原函数。证明：取定，由定理3.1，得是在D内确定得一个函数。取并取与充分接近，把D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线与连接及z的线段的并集。于是有这里积分是沿及z的联线取的，同样可证，有。例1、设D是不含a的一个单连通区域，并且，那么其中m是不等于1的整数。另外，还设D在复平面上沿从a出发的任何射线割开而得的区域内，我们有其中对数应理解为Ln(z-a)在D内的一个解析分支在z及的值。注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分；注解2、区域的单连通性不能直接取掉。注解

9、3、柯西定理可以推广到多连通区域：设有n+1条简单闭曲线曲线中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的内区域，围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域。设在上解析，那么令C表示D的全部边界，我们有其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿按反时针方向，沿按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧。因此也有：注解4、上面规定区域D的方向称为正向，以后，我们总是规定取正向，除非另有说明；注解5、以上结论的证明见右图：注解6、多连通区域内的不定

10、积分与多值函数：设f(z)是多连通区域D的解析函数。在D内作连接及z两点的任一条简单曲线。在某两条这样的曲线所包成的闭区域上，f(z)可能不解析，因此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等。假定这两个积分不相等。那么函数：是多值的。可是z当属于包含在D内的某一单连通区域时，取曲线如下：从沿一个固定的简单曲线到内一点，然后从沿在内一条简单曲线到z。沿这种曲线取积分所得的函数F(z)在内解析。改变从的曲线，我们能够得到不同的