大学复变函数课件-复数与复变函数.doc

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1、第一章复数与复变函数第一节复数1．复数域每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作，。复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。如果，则可以看成一个实数；如果，那么称为一个虚数；如果，而，则称为一个纯虚数。复数的四则运算定义为：复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。2．复平面C也可以看成平面，我们称为复平面。作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为-平面，w-平面等。3．复数的模与辐角复数可以等同于平面中的向量。向量的长度称为复数的模，定义为：；向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定

2、义为：（）。复数的共轭定义为：；复数的三角表示定义为：；复数加法的几何表示：设、是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；（6）、；例1．1试用复数表示圆的方程：（）其中a,b,c,d是实常数。解：方程为，其中。例1.2、设、是两个复数，证明利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设、是两个非零复数，则有,则有即，，其中后一个式子应理解为集合相等。同理，对除法，有即，，其后一个式子也应理解为集合相等。例1.3、设、是两个复数，求证：例1.4、作出过复平面C上

3、不同两点a,b的直线及过不共线三点a,b,c的圆的表示式。解：直线：；圆：4．复数的乘幂与方根利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：令，则进一步，有共有-个值。例1.5、求的所有值。解：由于，所以有其中，。第二节复平面上的点集1．初步概念：设，的-邻域定义为称集合为以为中心，为半径的闭圆盘，记为。设，若中有无穷个点，则称为的极限点；若，使得，则称为的内点；若中既有属于的点，由有不属于的点，则称为的边界点；集的全部边界点所组成的集合称为的边界，记为；称为的闭包，记为；若，使得，则称为的孤立点（是边界点但不是聚点）；开集：所有点为内点的集合；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于；则

4、任何集合的闭包一定是闭集；如果，使得，则称是有界集，否则称是无界集；复平面上的有界闭集称为紧集。例1.6、圆盘是有界开集；闭圆盘是有界闭集；例1.7、集合是以为心，半径为的圆周，它是圆盘和闭圆盘的边界。例1.8、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。例1.9、集合是去掉圆心的圆盘。圆心，它是的孤立点，是集合的聚点。无穷远点的邻域：，集合称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。我们也称为的一点紧化。2．区域、曲线复平面C上的集合，如果满足：（1）、是开集；（2）、中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于

5、。则称是一个区域。结合前面的定义，有有界区域、无界区域。性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。区域内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。扩充复平面上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。设已给如果和都在闭区间上连续，则称集合为一条连续曲线。如果对上任意不同两点及，但不同时是的端点，我们有，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。若尔当定理:任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。光滑曲线：如果和都在闭区间上连

6、续，且有连续的导函数，在上，则称集合为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。设是一个区域，在复平面C上，如果内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。中区域的连通性：如果内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。例1.10集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线即。例1.11集合为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线及。例1.12集合为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线及。例1.13集合为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆及。例1.14在上，集合与分别为单连

7、通及多连通的无界区域，其边界分别为及。第三节复变函数1．复变函数的概念设在复平面C上以给点集。如果有一个法则，使得，同它对应，则称为在上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为。注解1、同样可以定义函数的定义域与值域；注解2、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个和对应；注解3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若，，则等价于两个二元实变函数和。函数也称为从到C上的一个映射或映照。把集合表示在一个复平面上，称为-平面；