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1、复变函数与积分变换第一章复数与复变函数1.任何一个复数z≠0有无穷多个辐角，如θ1是辐角，则有Argz=?1+2kπ(k=0,±1,±2,…)表示z的全部辐角，其中满足-π＜?0≤π的辐角?0称为辐角Argz的主值，记为?0=argz.2.棣莫弗公式：（cosθ+?sinθ)?=cosnθ+?sin?θ第二章解析函数1.柯西–黎曼方程：∂?∂?∂?∂?=，=−∂?∂?∂?∂?2.如果二元实函数?(?,?)在区域D内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程：∂2?∂2?+=0∂?2∂?2则称?(?,?)为区域D内的调和函数。3.共轭调和函数公式：(
2、?,?)∂?∂??(?,?)=∫−d?+d?+C(?0,?0)∂?∂?其中(?0,?0)为D内一个定点，(?,?)为D内任一点，C为任意常数。该积分与路径无关。4.指数函数的定义??=??+??=??(cos?+?sin?)5.指数函数的性质?2??=16.ln?,称为Lnz的主值，于是有ln?=ln
3、?
4、+?arg?而其他各支可由下式表达：Ln?=ln?+2???(?=±1,±2,…)7.余弦函数与正弦函数：???+?−??cos?=2???−?−??sin?=2?8.双曲正弦函数和双曲余弦函数：??−?−?sh?=2??+?−?chz=21
5、第三章复变函数的积分1.复积分的计算??∫?(?)d?=∫?[?(?)]?′(?)d?C??2.计算：C为单位圆周
6、?
7、=1的上半部分从?1=1到?2=−1的弧。C的参数方程为?=???(0≤?≤?)，d?=????d?.3.柯西积分公式：1?(?)?(?0)=∮d?2??C?−?0?(?)∮d?=2??∙?(?0)C?−?04.高阶导数公式:?!?(?)?(?)(?)=∮d?(?=1,2,⋯).02??(?−?)?+1C0?(?)2??∮d?=?(?)(?)(?=1,2,⋯).(?−?)?+1?!0C0第四章级数1.幂级数∞∑?????=0收
8、敛半径公式为??R=lim
9、
10、.?→∞??+12.幂级数基本展开公式：1=1+?+?2+⋯+??+⋯，
11、?
12、<1；1−?∞1=∑(−1)???，
13、?
14、<1；1+??=0∞????=∑，
15、?
16、<+∞；?!?=0∞?2?+1sin?=∑(−1)?，
17、?
18、<+∞；(2?+1)!?=02∞(−1)??2?cos?=∑，
19、?
20、<+∞；(2?)!?=03.函数展开结果中可能不含z的负幂项，原因在于?(?)在C内是解析的。第五章留数1.【定理】设?0为函数?(?)的孤立奇点(1)若lim?(?)=?（有限值），则?0为?(?)的可去奇点；?→?0(2)若li
21、m?(?)=∞，则z0为?(?)的极点，进一步，若lim(?−?0)??(?)?→?0?→?0=?(有限值且不为0)，则?0为?(?)的?阶奇点；(3)若lim?(?)不存在且不为0，则?0为?(?)的本性奇点.z→z02.留数的计算方法：(1)当z0为f(z)的可去奇点时，Res[?(?),?0]=0.(2)当?0为?(?)的一阶极点时，Res[?(?),?0]=lim(?−?0)?(?).?→?0?(?)′(3)若?0为?(?)=的一阶奇点，且?(?0)≠0，则?(?)?(?0)Res[?(?),?0]=′.?(?0)(4)若?0为?(?)
22、的?阶极点，则1d?−1Res[?(?),?0]=lim[(?−?0)??(?)].(?−1)!?→?0d??−13.留数定理?∮?(?)d?=2??∑Res[?(?),??].C?=1第七章傅里叶变换(Fourier)1.傅氏变换：+∞?(?)=∫?(?)?−???d?−∞傅氏逆变换：1+∞?(?)=∫?(?)????d?2?−∞3第八章拉普拉斯变换(Laplace)1.拉普拉斯变换式：+∞?(?)=∫?(?)?−??d?0+∞−??F(s)=L[f(t)]，即L[?(?)]=∫?(?)?d?02.拉氏变换表?(?)?(?)11，?(?)?1
23、????−?1??−??(?+?)2?sin???2+?2?cos???2+?2?!????+13.拉普拉斯变换的微分性质：L[?′(?)]=??(?)−?(0)L[?′′(?)]=?2?(?)−??(0)−?′(0)L[?′′′(?)]=?3?(?)−?2?(0)−??′(0)−?′′(0)⋮L[?(?)(?)]=???(?)−??−1?(0)−??−2?′(0)−⋯−?(?−1)(0)4
