复变函数笔记.pdf

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1、复变函数笔记李嘉轩1复数与复数域上的拓扑关于开集和闭集：1)空集?是开集也是闭集，C既是开集也是闭集。2)若干闭集的交集是闭集，若干闭集的并集是闭集。3)若干开集的交集是开集，若干开集的并集是开集。设f:C!C是一个复变函数，那么下列命题等价：i.f是连续函数。ii.闭集的原像是闭集。iii.开集的原像是开集。一个集合AC，A的一个子集B如果满足B=AU，其中U是一个开集，那么称B是相对于A开的；如果A的一个子集B满足B=AF，其中F是一个闭集，那么称B是相对于A闭的。道路连通与连通：我们在直观上看C上的两个点集时，对于连通这个意思有两种理解。正

2、面的理解是：“这个集合中的任意两个点都可以被一条线给连起来”，反面的理解是：“这个集合不能被直观的看成两部分”。由此我们有了如下概念：道路连通(path-connected)：一个集合C中的任意两个点a;b之间可以用一条折线连接起来，且这条折线的每个点都属于集合C。即对于集合C中的任意两个点a;b，有一个连续映射:[0;1]!C; (0)=a; (1)=b:对于另一个定义，一个集合CC，若存在开集U;V并满足下列条件，则称C连通(connected)的：1)CU[V2)CU6=?andCV6=?3)UV6=?即连通集C不能用两个不相交非空开集将其一分

3、为二。

4、Proposition1：一个道路连通的集合（无论是开集还是闭集）一定是连通的。一个连通的集合不一定是道路连通的，但这句话对于开集是成立的。事实上，连通的开集中道路还有性质。

5、Proposition2：一个连通的开集一定是道路连通的，且连接任意两个点的道路都是可微的。道路可微的意思是的两个x分量函数与y分量函数都是可微的。可见，连通的开集的性质是如此好。对于连通的开集，连通和道路连通画上了等号，而且道路还是可微的。所以我们把连通的开集叫做区域(region).1

6、Proposition3：如果f是一个定义在连通集合C上的一个连续函数，那么像集f(C)也

7、是连通的。这说明了连续函数把连通的集合映为连通的集合。至此，我们发现连续函数把连通的映为连通的；开集的原像是开集，闭集的原像是闭集。F注意：Proposition3的逆命题不成立！一个连续函数的像是连通的，并不意味着定义域是连通的！练习：说明点集E=fiyjjyj1g[fx+isin1j0

8、们无法用一个有限长度的、处处可微分的曲线将这两x点连起来，因为sin1在x=0处不连续。因此点集E不是道路连通的。x单连通：如果对于区域D中的任意简单闭曲线L，都存在D中的有界区域De，使得L=@De，则区域D是单连通的。简单的例子是：圆环fzjr

9、是无限个）开集U;=1;2;3:::，如果一个集合K满足KSU，我们就称U是K的一个开覆盖，简称覆盖。有时候，大量的覆盖有些浪费，我们可以精简一些，试图用少一点的面积去覆盖一个东西，引出子覆盖：S子覆盖(subcover)：在覆盖U中挑选一个指标集A=1;2;:::;n，使得KAUi，我们就称UA是K的一个子覆盖。如果A是有限的，称为有限子覆盖。紧集（compactset）：如果集合K的任意一个开覆盖都存在有限的子覆盖，那么K是紧集。也就是说，如果找到一个覆盖，这个覆盖没有有限的子覆盖，那么这个集合肯定不是紧集。

10、Proposition4：KC，下

11、列命题循环等价：i.K是有界闭区域。ii.K中的任何一个序列（点构成的序列）都有收敛的子序列，且收敛在K中的点上。iii.K是个紧集。2有几个例子很不错。如果K不是有界的，我们可以取一个序列，jz1j=1;jz2j>jz1j+1;:::;jznj>jzn1j+1，这个序列就没有收敛的子序列，而且我们不妨取覆盖为D(0;n);n=1;2;3:::，这个覆盖也没有有限子覆盖。如果K不是个闭集，我们可以取序列z1;z2;:::收敛于点w2nK，我们取覆盖fzjjzwj>1=n;n=1;2;3:::g，这个覆盖也没有有限子覆盖。

12、Proposition5：K是一个

13、紧集，连续函数f定义在K上，那么f(K