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时间:2018-08-03
《strongart数学笔记:漫谈纤维丛的直观形象》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、漫谈纤维丛的直观形象纤维丛(fibrebundle)是微分几何中的一个重要概念,但它却是非常抽象的,传说要真正理解纤维丛至少需要四年。一般数学书上尽管也举一些标准例子,但只是介绍其中代数与微分的构造,很少对它们的直观图像进行分析。下面我结合自己对纤维丛的一点认识,写一篇小文章算是填补一下其中的空白。简单的说,纤维丛就是一簇在基底流形上参数化的局部平凡的拓扑空间,而这里的拓扑空间多半是以流形的面目出现的,视其为基底流形上面的参数化流形也未尝不可。它有一个重要的特例是向量丛(vectorbundle),那是一簇在流形上参数化的局部平凡的向量空间。然而,人类对的直观只能达到三维
2、,而基底流形至少要占掉一维,因此所能见到直观例子主要也就纤维为一维的情形了。一维纤维的直观形象就是“毛”,如果是一维向量丛(又称线丛),那就笔直的“硬毛”,一般的纤维丛则可能是“软毛”。然而,“毛”的形象却是有缺陷的,它暗示着纤维似乎是从基底流形发出的,但实际上纤维是穿透基底流形的。这里的误解还有另一个源头,那就是很多中文书上把基底流形称为底流形,结果就自然被误认为是位于底部的流形(记得我去国外(网站)讨论数学时,翻译回去就是bottommanifold。结果有些老外就搞不明白了,后来发现它的英文是base,翻译成“基底”或者简称“基”才更加准确)。就直线上的线丛而言,它
3、的形象不应该类似于“梳子”,而应该更接近于“蜈蚣”,这里“蜈蚣的腿”就相当于上面的“毛”,但它既是无限条,也是无限长的。然而,对“蜈蚣”形象还有个疑问,这里“蜈蚣”的(无限条无限长的)腿是不是一定要垂直于身体,也就是说纤维丛里的纤维是不是一定正交于基底流形呢?有趣的是,在我所见到的书籍当中,没有一本书中的纤维丛定义要求它正交,但同样没有一本书中画出来的示意图(假若有图的话)不是正交的,后者大概是出于美观的考虑,但却容易使人产生误解。实际上。把各纤维转到同样的角度,得到的“歪腿蜈蚣”一样也是纤维丛。同样,对“斜腿蜈蚣”我们也有一个疑问,就是那些腿是不是一定非要平行呢?这里容
4、易出现的误解是:假若不平行,那么无限长的“腿”就必然相交,这违反了局部平凡化的要求。但考虑一下圆周S1上的切丛,相邻点的切线似乎总是相交的,这不是与上述要求矛盾了吗?实际上,这是因为我们在二维空间内处理问题的结果,实际上“蜈蚣的腿”是可以伸展到三维空间不相交的。圆周上的切丛也是如此,一个标准的图形就是圆柱面,而对于二维球面上的切丛,那就是三维空间中所无法完美展现的了,尽管画出来的图形是相交的,但实际上却是在更高维的空间中不相交的。那么,“斜腿蜈蚣”的腿大概可以歪到什么程度呢?这里由局部平凡化条件决定的,一是它们不能相交,二是要保持连续条件,那就是说“毛”的全体构成了一张“
5、膜”。对于其他的纤维丛,它的大体形象也就是某种抽象意义上的“膜”。我们继续来看一下圆柱面的情形,它可以看做圆周的切丛(线丛),但也可以视为直线上的一维球丛(圆周丛)。事实上,现出来就是S1×R,S1为底流形,R为纤维时就是前者;而把R视为底流形,S1视为纤维时就是后者,后者的“毛”的卷的,因此并不属于向量丛。在同样的流形中,假若定义的基底流形与纤维不同时,就可能是不同的纤维丛。在相对论中我们喜欢选定一个参考系,然后观察物体的运动状况,这就相当于固定好纤维,让基底流形作相应的变化。我们在线丛S1×R中考虑,假若把基底流形B沿纤维方向向上平移,那么依然得到一个纤维丛,而且可以
6、把平移后的图形B1视为基底流形。同样,我们还可以旋转一个小角度,把原来的纤维丛视为以B2为基底的纤维丛(如下图),这里的“小”字如何理解呢?就是不能旋转到平行于纤维。用几何的语言来说,就是要保证纤维与基底流形的横截性。记得某位数学家说过,横截性解开了就流形的秘密。我想它也同样也解开了纤维丛的秘密。当然,我们也可以在固定基底流形的同时旋转它的纤维,这两种操作显然是等价的。前面被平移或旋转后的图形,有一个直观的术语,称为整体截面(请注意,有的微分几何教材把基底流形到(整体)截面的映射(截影)称为(整体)截面)。这里我要考虑一个问题,是不是可以把整体截面视为基底流形,得到一个新
7、的纤维丛,使得原来的基底流形变成新纤维丛的截面呢?也就是说,基底流形在纤维丛中有没有什么特殊地位,是不是仅仅作为一个人为的设定,就好像坐标原点一样呢?答案是肯定的,这样我们就把基底流形拉下了神坛。然而,对于一般的纤维丛而言,整体截面(除基底流形本身之外)存在性却是不能保证的,特别是主丛中只有平凡丛才存在整体截面,这就未免有点遗憾了。补充:也许有人会这么想:基底流形本身不就是一个天然的整体截面吗?请看下面的例子,考虑由二维球面上单位向量场构成的丛,其纤维可视为以球面上各点为中心,在相应切平面内的单位圆周,但它并不包含球面上的各点
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