strongart数学笔记：直线上的童话故事

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1、直线上的童话故事话说直线上有家伙叫做区间[0,99],它觉得自己九九重阳很了不起，就看不起直线上的其他对象，特别是鄙视零测集和第一纲集。它说零测集一般都是直接扔掉的，是实变函数中的废物，而第一纲集则是无处稠密集的并，是泛函分析中的废物。什么无处稠密集啊？就是送你个闭包还得不到内点，浑身都是洞洞，不管装什么都是竹篮打水一场空啊！零测集与第一纲集对此当然很不满意，决定联合起来对抗区间[0,99],对此这个区间很不以为然，冷笑着说：“两个废物合起来只能是更大的废物，怕是连单位区间都比不了的哦！”然而，等它们的合作完成之后，区间[0,99]大惊失色，立刻对合体

2、后的结果顶礼膜拜，下面我就来介绍一下这个合体的过程。零测集先贡献了一个有理数集Q，尽管Q是零测的第一纲集，但却不是无处稠密的，而是有个非常卓越的性质：直接在实数集R内稠密。在证明Q是零测集的时候，通常是把它一一列出得到{qi},对任意给定的ε＞0，可以分别找到长为ε/2^i的区间Ii含ε，这样一来所有区间Ii的并就包含有理数集Q，而它们的并的测度则是不大于ε的，因此有理数Q的测度只能是0.这里我们把这个过程进一步精细化，分别找相应的序列εj=1/2^j.为了便于读者理解，这里我分步骤来进行说明：第一步：分别找区间I1i包含各qi，使得其并的测度小于1/

3、2，同时让qi位于各I1i的中点。第二步：分别找区间I2i包含各qi，使得其并的测度小于1/4,同样让qi位于各I2i的中点，I2i的长度是I1i的一半。…………第j步：分别找区间Iji包含各qi，使得其并的测度小于1/2^j,同样让qj于各Iji的中点，Iji的长度是Ij-1,i的一半。…………这样我们就得到一个区间序列的序列{Iji},先固定j对i取并，令Ij=∪Iji，则Ij的测度小于1/2^j,同时它的补集RIj不包含任何有理数，因此是无处稠密的。接下来我们对所有的Ij作交，令I=∩Ij，则I是零测集，同时它的补集RI是无处稠密集RIj的

4、并，因此RI就是第一纲集。原来零测集与第一纲集的并竟然可以得到整个直线R，它是具有无穷大测度的完备集，难怪我们的小区间[0,99]要顶礼膜拜啦！这个证明的大意我是在JohnOxtoby的一本非常精致的小册子MeasureandCategory（GTM2）上面看到的，当时就被它给深深的吸引住了。一般来说，数学中的定理大概可以非常两类，一类是结论漂亮但证明比较贫乏啰嗦，很多结构性定理大致都属于此类；另一类则是证明比较有启发性，但结论却不是太优美的，只是稍微有点实用价值而已。但这个命题可以说是集智慧与美貌于一身，其中的智慧我们已经在证明中品味过了，下面再来

5、品味一下它的美貌吧。从数学本身来说，它说明了纲与测度作为衡量集合大小的两种手段，不仅是不相关的，而且可以做到背道而驰的地步。利用这个命题，我们可以轻松的得到一个第二纲的零测集，同时还能得到测度是无穷大的第一纲集，可以说是一箭双雕。而这样的结构并不需要太复杂的构造，就是隐藏在我们最司空见惯的直线之中，对此我只能用“童话”这个名词来形容了。此外，这个命题还有一层文学上的启迪意义，那就是永远不要小看所谓的废物，特别是那些在某个方面发挥到极致的废物。对此我灵机一动，创造出一句英文格言：TheunionoftwoloserswillbecometheGod!——

6、Strongart本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。