strongart数学笔记：极小理想与极大子模

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1、极小理想与极大子模对于任何交换环而言，极大理想总是存在的，这可以利用Zornlemma迅速的证明。其实，大家不用被Zornlemma的抽象叙述吓倒，至少在代数中的绝大多数情况下，偏序关系大都是包含（或反向包含）关系，极大元也只是它的并（或交）而已。但这里我要追问一下，极小理想是不是也一定存在？推广到模的情形又如何呢？首先我要提醒大家注意，交换环R的极大理想与极小理想的术语约定是比较特别的，它是指极大或者极小的非平凡理想（否则极大理想就是环R本身，而极小理想就是0），这一点对极大子模与极小子模也都是类似的。但正是这个看似平凡的约定

2、，使得其存在性可能受到挑战，比如在最简单的整数环Z当中极小理想就是不存在的，因为我们有（p)≥(p^2)≥(p^3)≥…，其中找不到一个最小元。假若追溯一下极大理想的证明，我们就会发现这里的非空偏序集不存在上界，详细说来就是那一族理想链的交为0，这就超出非平凡理想的范围。可以与极小理想不存在类比的是极小素理想的存在，这倒是可以用反向包含的Zornlemma证明的。这里的差异主要还是术语约定的问题，既然0未必一定是素理想，那么在定义极小素理想时，就允许包含0的情况。特别地，对于任何的整环，0就是它的极小素理想。可这样一来，就出现一

3、个非常怪异的情况，极小理想并不是最小的（素）理想，特别对于任何域k，k是极小理想，而0却是极小素理想！可既然对这些术语的定义都是有理由的，那么我们也就只有接受这种奇特的情况了。再来看模的情形，极小子模已经由极小理想代办了，剩下来就只要看极大子模。这里的例子并不容易想到，我们可以考虑把上面极小理想的情形翻转过来，考虑升链（p^(-1))≤(p^(-2))≤(p^(-3))≤…，为了不让这里的理想平凡，我们要对整数环Z取模。也就是说，考虑Q/Z中形如ap^(-n),n≥1，1≤a≤p-1的元素组成的Z-模M，它的上述升链之并就是M本

4、身，因此这个Z-模M是不存在极大子模的。这样看来，极大与极小子模的不存在才是正常的，“极大理想必存在”这个为我们熟知的例子反倒成为了特殊情况。对此我们可以深刻理解一下，主要就是归结为相应升链并与降链交的存在性，具体原因大概有以下两点：1）理想必须是环的子对象，所受到的约束条件比较严格，因此其极大或极小元的生存的可能性比模要强一些；2）非平凡的理想不能包含单位元，不会出现理想的并变成环R的情形（否则1必包含在其中某个理想内！），这与降链中可能出现理想的交为0是不同的。在很多情况下，我们还是希望各类极大与极小子模能够存在，因此就可以

5、引入升链条件（ACC)与降链条件(DCC），这样就自然得到熟知的Noetherring（andmodule）与Artinring（andmodule），此后的故事就只要在这两类环的舞台上展开了。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里

6、我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。