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时间:2018-07-26
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1、第二十一讲广义特征值与极小极大原理一、广义特征值问题1、定义:设A、B为n阶方阵,若存在数,使得方程存在非零解,则称为A相对于B的广义特征值,x为A相对于B的属于广义特征值的特征向量。●是标准特征值问题的推广,当B=I(单位矩阵)时,广义特征值问题退化为标准特征值问题。●特征向量是非零的●广义特征值的求解或者特征方程求得后代回原方程可求出x本课程进一步考虑A、B厄米且为正定矩阵的情况。2、等价表述(1)B正定,存在,广义特征值问题化为了标准特征值问题,但一般来说,一般不再是厄米矩阵。(2)B正定,存在Cholesky分解,,G满秩令
2、则也成为标准特征值问题。为厄米矩阵,广义特征值是实数,可以按大小顺序排列,一定存在一组正交归一的特征向量,即存在满足还原为(i=1,2,,n),则(带权正交)一、瑞利商A、B为n阶厄米矩阵,且B正定,称为A相对于B的瑞利商。线性无关,所以,,存在,使得●证明:k为非零常数可取,(闭区域)当或时,另一方面,[证毕]当B=I时,标准特征值问题()则进一步分析可得定理1.设,则这一结果不便于应用,希望对上述结果进行改造,改造成不依赖于的一种表达方式。和的情况均对应于x在(n-1)维的子空间内变动,x在L中变动是在一个(s-r+1)维子空间
3、中变化。一般的,x在的(n-1)维子空间中变动时,即,对于不同的,的最小值及最大值有可能不同,其中各个最小值中最大者为,各个最大值中的最小者为定理2.设是的一个k维子空间,则以上两式称为广义特征值的极小极大原理。●B=I时,标准特征值问题同样存在上述关系。●矩阵奇异值问题:(非零)
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