12 特征值估计、广义特征值与极大极小原理

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1、第十二讲矩阵特征值估计特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。一、特征值界的估计定理1.设，为A的任意特征值，则有其中，证明：设x为A的属于特征值的单位特征向量，即，，则将x写成（表示不含i＝j）113不妨写为：取等号的条件为，但，所以其它定理2.设，为A的任意特征值，则有其中，，，一、盖尔圆法定义：设,由方程所确定的圆称为A的第i个盖尔圆，称为盖尔圆的半径。113定理3：矩阵A的所有特征值均落在它的所有盖尔圆的并集之中。证明：设，为A的某一个特征值，x为相应的特征向量，将x写成，设由，考虑行对于A的特征值，一定存在，使落在A的第个盖尔圆中

2、，对于每个特征值都有相同的结论。定理4.将矩阵A的全体盖尔圆的并集按连通部分分成若干个子集，（一个子集由完全连通的盖尔圆组成，不同子集没有相连通的部分），对每个子集，若它恰好由K个盖尔圆组成，则该子集中恰好包含A的K个特征值。说明：盖尔圆相互重叠时重复计算，特征值相重时也重复计算证明：设，令113，，的特征多项式是u的多项式，其特征值是u的连续函数，观察u（）变化的过程中特征值的变化，特征值只能在盖尔圆连通的子集内变动，而不能跨出连通子集。由此可见，由K个盖尔圆组成的连通子集恰好包含K个特征值。应该注意到：连通的这些盖尔圆中，有些盖尔圆可能包含两个或多个特征值，而

3、其它盖尔圆中可能无特征值。推论1.孤立盖尔圆中恰好包含一个特征值。推论2.实矩阵的孤立盖尔圆恰好包含一个实特征值。推论3.盖尔圆方法中盖尔圆半径可以按列求和。（因为方阵转置后特征值不变）推论4.盖尔圆半径变为，两个盖尔圆定理仍然成立。说明如下：相似矩阵与A具有相同的特征值，取根据推论4，选取适当的113使盖尔圆变大或变小，可以对特征值进行隔离。但有时这种隔离特征值的方法会失效，如对于那些对角线上由相同元素的矩阵，此时盖尔圆的圆心相同。广义特征值与极小极大原理一、广义特征值问题1、定义：设A、B为n阶方阵，若存在数，使得方程存在非零解，则称为A相对于B的广义特征值，

4、x为A相对于B的属于广义特征值的特征向量。●是标准特征值问题的推广，当B＝I（单位矩阵）时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。●特征向量是非零的●广义特征值的求解或者特征方程求得后代回原方程可求出x本课程进一步考虑A、B厄米且为正定矩阵的情况。2、等价表述（1）B正定，存在，广义特征值问题化为了标准特征值问题，但一般来说，一般不再是厄米矩阵。（2）B厄米，存在Cholesky分解，，G满秩令则也成为标准特征值问题。113为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序排列，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在满足还原为(i=1,2,,n)，则（带权正交）一、瑞利商

5、A、B为n阶厄米矩阵，且B正定，称为A相对于B的瑞利商。线性无关，所以，，存在，使得●证明：k为非零常数113可取，（闭区域）当或时，另一方面，[证毕]当B＝I时，标准特征值问题（）则进一步分析可得定理1.设,则113这一结果不便于应用，希望对上述结果进行改造，改造成不依赖于的一种表达方式。和的情况均对应于x在（n-1）维的子空间内变动，x在L中变动是在一个(s-r+1)维子空间中变化。一般的，x在的(n-1)维子空间中变动时，即，对于不同的，的最小值及最大值有可能不同，其中各个最小值中最大者为，各个最大值中的最小者为定理2.设是的一个k维子空间，则以上两式称为广

6、义特征值的极小极大原理。●B＝I时，标准特征值问题同样存在上述关系。●矩阵奇异值问题：（非零）113作业：P2622，3，4113