特征值估计与表

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1、第五章特征值估计及极性知识要点：特征值的估计；广义特征值问题；特征值的极小极大原理;特征值和奇异值的扰动；广义特征值分析的应用。§5.1特征值的估计一、特征值的界1.定理5.1：设A=(aij)Rn×n，若表示A的任一特征值，则其中。2.推论实对称矩阵的特征值都是实数。3.引理1：设BCn×n，yCn为单位列向量，则证明：设B=(bij)n×n，，则4.定理5.2：设ACn×n，则A的任一特征值满足(1)

2、

3、

4、

5、A

6、

7、m(2)

8、Re()

9、0.5

10、

11、A+AH

12、

13、m(3)

14、Im()

15、0.5

16、

17、A－AH

18、

19、m。证明：设A属于的单位特征向

20、量为y，则有Ay=y，即yHAy=yHy=，因此由引理，于是有例：估计矩阵特征值的上界。5.推论Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数．解：由定理5.2，对A特征值，有：

21、

22、2，

23、Re()

24、2，

25、Im()

26、1.3，由定理5.1，知其虚部的另一逼近为：其特征值为：6.定义5.1设A=(aij)Cn×n,记Rr=sr

27、ars

28、,r=1,…,n，如果

29、arr

30、＞Rr(r=1,2,…,n)，则称矩阵A按行严格对角占优；如果

31、arr

32、Rr(r=1，…，n)，且有lron，使得

33、aroro

34、>Rro成立

35、，则称矩阵A按行(弱)对角占优。7.定义5.2设ACn×n，如果AT按行严格对角占优，则称A按列严格对角占优；如果AT按行(弱)对角占优、则称A按列(弱)对角占优。二、特征值的包含区域1.定义5.3设A=(aij)Cn×n，称区域Gi:

36、z-aii

37、Ri为矩阵A的第i个盖尔圆，其中Ri=ji

38、aij

39、称为盖尔圆Gi的半径(i=l，…，n)。2.定理5.6矩阵A=(aij)Cn×n的一切特征值都在它的n个盖尔圆的并集之内。证明:设λ为其特征值，为对应特征向量，且为其绝对值最大者，则有即3.定理5.7由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它是

40、由k个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有A的k个特征值(盖尔圆相重时重复计数．特征值相同时也重复计数)．证明思路：考虑由A的对角线元素构成的矩阵D=diag(a11,a22,…,ann)，定义矩阵B(u)=(1-u)D+uA则其特征值变化连续依赖于参数u，D的盖尔圆连续变化成为A的盖尔圆。因此例：讨论矩阵的特征值的分布。解：A的盖尔圆分别为

41、z-1

42、≤0.8和

43、z

44、≤0.5，这两个盖尔圆为连通的，因此包含两个特征值。其特征值为不在盖尔圆

45、z

46、≤0.5内。考虑满秩对角阵则矩阵DAD-1与A具有同样的特征值，因此有若将Ri改作ri=ji(

47、aij

48、i/

49、j)，则两个盖尔定理仍然成立，其中i都是正数。隔离矩阵特征值原则选取的一般方法是：观察A的n个盖尔圆，欲使第i个盖尔圆Gi的半径变大(或小)些，就取i＞1(或i＜1)．而取其它正数=1。此时，B=DAD-1的第i个盖尔圆的半径变大(或小)，而B的其余盖尔圆的半径相对变小(或变大)．但是，这种隔离矩阵特征值的办法还不能用于任意的具有互异特征值的矩阵．比如主对角线上有相同元素的矩阵．如果矩阵A按行(列)严格对角占优，则detA0。例:隔离矩阵A=的特征值．A的3个盖尔圆为G1:

50、z-20

51、5.8，G2:

52、z-10

53、5，G3:

54、z-10j

55、3。G1与G2

56、相交；而G3孤立，其中恰好有A的一个特征值，记作3(见左图)．选取D=diag(1，1，2)，则B=DAD-1的三个盖尔圆为G1’:

57、z-20

58、5.4，G2’:

59、z-10

60、4.5，G3’:

61、z-10j

62、6。易见，这是3个孤立的盖尔圆，每个盖尔圆中恰好有B的(也是A的)一个特征值(见右图)．定理5.11：设矩阵A=(aij)Cn×n的，0α1，λ是A的任一个特征值，则存在i使得

63、λ–aii

64、[Ri(A)]α[Ri(AT)]1-α例：讨论矩阵的特征值的分布。解：R1(A)=0.8,R2(A)=0.5;R1(AT)=0.5,R2(AT)=0.8.取α=

65、0.5,则A的特征值λ满足不等式

66、λ–1

67、[R1(A)]1/2[R1(AT)]1/2=0.41/2=0.6324

68、λ

69、[R2(A)]1/2[R2(AT)]1/2=0.41/2=0.6324§5.2广义特征值问题定义:称Ax=Bx的特征值问题为(对称)矩阵A相对于(对称)矩阵B的广义特征值问题，称数为矩阵A相对于矩阵B的特征值；而与相对应的非零解x称之为属于的特征向量．广义特征值由det(A-B)=0的根给出。一、广义特征值问题的等价形式1.等价形式1：B可逆时B-1Ax=x，等价地化为非对称阵B-1A的普通特征值问题。2.等价形式2：B正定时B=

70、GGT使得Sy=y，其