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时间:2021-02-07
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1、第二十讲矩阵特征值估计特征值计算较困难,希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。一、特征值界的估计定理1.设,为A的任意特征值,则有其中,证明:设x为A的属于特征值的单位特征向量,即,,则将x写成(表示不含i=j)不妨写为:取等号的条件为,但,所以其它定理2.设,为A的任意特征值,则有其中,,,一、盖尔圆法定义:设,由方程所确定的圆称为A的第i个盖尔圆,称为盖尔圆的半径。定理3:矩阵A的所有特征值均落在它的所有盖尔圆的并集之中。证明:设,为A的某一个特征值,x为相应的特征向量,将x写成,设由,考虑行对于
2、A的特征值,一定存在,使落在A的第个盖尔圆中,对于每个特征值都有相同的结论。定理4.将矩阵A的全体盖尔圆的并集按连通部分分成若干个子集,(一个子集由完全连通的盖尔圆组成,不同子集没有相连通的部分),对每个子集,若它恰好由K个盖尔圆组成,则该子集中恰好包含A的K个特征值。说明:盖尔圆相互重叠时重复计算,特征值相重时也重复计算证明:设,令,,的特征多项式是u的多项式,其特征值是u的连续函数,观察u()变化的过程中特征值的变化,特征值只能在盖尔圆连通的子集内变动,而不能跨出连通子集。由此可见,由K个盖尔圆组成的连通
3、子集恰好包含K个特征值。应该注意到:连通的这些盖尔圆中,有些盖尔圆可能包含两个或多个特征值,而其它盖尔圆中可能无特征值。推论1.孤立盖尔圆中恰好包含一个特征值。推论2.实矩阵的孤立盖尔圆恰好包含一个实特征值。推论3.盖尔圆方法中盖尔圆半径可以按列求和。(因为方阵转置后特征值不变)推论4.盖尔圆半径变为,两个盖尔圆定理仍然成立。说明如下:相似矩阵与A具有相同的特征值,取根据推论4,选取适当的使盖尔圆变大或变小,可以对特征值进行隔离。但有时这种隔离特征值的方法会失效,如对于那些对角线上由相同元素的矩阵,此时盖尔圆
4、的圆心相同。作业:P2612,3,4
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