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1、2006年 第30卷 中国石油大学学报(自然科学版)Vol.30No.1 第1期 JournalofChinaUniversityofPetroleumFeb.2006 文章编号:167325005(2006)0120154203分块矩阵特征值的圆盘估计梁景伟(中国石油大学数理系,北京102249)摘要:在考虑非正规性因素影响下,对分块矩阵给出了复方阵特征值的整体圆盘估计,即给出复方阵的特征值相对于对角元素算术平均值的偏离程度的估计。关键词:分块矩阵;特征值;圆盘估计中图分类号:O241.6文献标识码:AAdiscestimationfor
2、eigenvaluesofablockmatrixLIANGJing2wei(DepartmentofMathematicsandPhysicsinChinaUniversityofPetroleum,Beijing102249,China)Abstract:Consideringabnormalfactors,adiscestimationforalleigenvaluesofablockmatrixwasobtained,i.e.,anesti2mationofdeviationforanyeigenvalueofablockmatrixtoarithmetic
3、meanofitsdiagnoalelementswasgiven.Keywords:blockmatrix;eigenvalue;discestimation的算术平均的偏离估计,即对于任一n阶方阵M∈1 问题的提出n×nC的所有特征值都位于如下单一圆盘中:n×n本文中C表示所有n阶复方阵组成的集合,trMn-1n×nD:z:z-≤r1=q.(1)如果M∈C,则trM,rankM以及MF分别表nn3式(1)的圆盘估计主要依赖于Schur不等式示M的迹、秩和Frobinius范数。如果MM=nM3M,则称M为正规矩阵,其中M3为M的共轭λ22∑j≤MF,其中λ1,λ
4、2,L,λn为M的特征j=1转置矩阵。n2在特征值估计理论中,最著名的是Gerschgorin值,∑λj的上界估计越小,则圆盘的半径也越j=1圆盘定理,该定理实际上给出了矩阵特征值偏离对小,文献[4]针对分块矩阵给出了一个半径更小的角元素的一个良好又实用的估计,同时也有许多文估计。[1]献和著作对该定理给予了补充和改进。除此之[4]n×n引理1 如果M∈C,任意给定1≤k≤[2]外,1994年古以熹给出了任意复方阵的任一特征n-1,将M进行如下分块:值相对于所有特征值的算术平均或相对于它的对角ABk×k(n-k)×(n-k)元素的算术平均的偏离估计。但是,他的研究结
5、果没M=,其中A∈C,D∈C,CD有体现矩阵非正规性对上述偏离估计的影响。笔者k×(n-k)(n-k)×kB∈C,C∈C,令曾考虑非正规性因素影响,给出了更精确的估22lk=AF+DF+2BFCF,(2)[3]计,本文中则针对分块矩阵给出更好的估计。则有2 主要结果rankM≥1trM2.(3)lk文献[2]中给出了任意复方阵的任一特征值相定理1在引理1的条件下,分块矩阵M=对于所有特征值的算术平均或相对与它的对角元素收稿日期:2005-06-25作者简介:梁景伟(1963-),男(汉族),北京人,教授,博士,从事矩阵理论与计算方面的研究。第30卷 第1期
6、 梁景伟:分块矩阵特征值的圆盘估计·155·AB将其化简为的所有特征值位于如下的圆盘中:232CDnλ-λtrM-λ…trM≤(n-1)lk-trM.trMn-112进一步化简并配方,则有D:z:z-≤r=lk-trM.nnntrM3trM122λ-λ-λ…+2trM≤(4)nnn其中n-1n-12lk-2trM,22nnlk=AF+DF+2BFCF.即证明设λ为M的任一特征值,任取1≤k≤2trMn-112n,则λ-n≤nlk-ntrM.λIk-A-B对此不等式两边开方,则有λI-M=,-CλIn-k-DtrMn-112λ-≤lk-trM,且有ran
7、k(λI-M)≤n-1,由引理1的结果,将式nnn(3)中M用λI-M替换,则有AB即分块矩阵M=的所有特征值位于如下12CDrank(λI-M)≥tr(λI-M).(5)lk(λ)的圆盘中:其中trMn-11222D:z:z-≤r=lk-trM.lk(λ)=λIk-AF+λIn-k-DF+nnn比较式(1)与(4)两边的半径,有r1≤r。要想2BFCF.(6)2说明r1≤r,只要证明lk≤MF即可。事实上,将式(5)改写,则有2222tr(λI-M)2≤lMF=AF+DF+BF+k(λ)rank(λI-M).22再由rank(λI-M)≤n-1,可得CF=lk
