矩阵特征值的估计

《矩阵特征值的估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三部分矩阵特征值的估计§1.特征值界的估计引理1.n阶复矩阵A，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A的特征值。即存在一个酉矩阵U和三角矩阵T，使引理2.设，则Proof:设则引理3.A为正规矩阵A酉相似于对角矩阵。（注：正规矩阵：）即存在酉矩阵U使Th1.设A为n阶矩阵，为其特征值，则：A为正规矩阵，等号成立。Proof:由引理1.存在酉阵U，使（三角阵）——①88对①两边取共轭转置：——②①②（为酉阵）即设令，则A=B+C：其中B为Hermit阵（即）实C为反Hermit阵（即）虚注：引入B,C的目的是为了研究A的特征值的实

2、部和虚部的估计。Th2.设A,B,C如上所设，为A的特征值，则有：①②③Proof:由,88同理可证：其它两个注：该定理对A特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A特征值虚部估计更精确的一个定理。Th3.设，则其中，为上述C的第i行第j列元素Proof:（略）eg1.设则由Th3.易见，Th3.比Th2.中③要精确。据上述定理可得如下推论：推论1：实对称矩阵的特征值令为实数。推论2：Hermit矩阵的特征值令为实数。88推论3：反Hermit矩阵的特征值令为虚数或零。Proof1:A为实对称，则，则即由Th2即为实数P

3、roof2:A为H—阵，则，则，即为实数Proof3:A为反H—阵，则，设为特征值，由Th2.即为纯虚数或零。Th4.幂等阵的特征值为0或1Proof:设为A的特征值，Z为A的对应于的特征向量。即或1.Th5.设A,B为n阶实对称矩阵，矩阵B半正定（B的特征值非负），则其中分别为A+B和A的特征值，且即A+B与A的特征值按递减顺序排列。§2.圆盘定理及其推广上节我们对矩阵的特征值作了大致的估计，本节所有讲的圆盘定理是对矩阵的特征值在复平面上的具体位置作了更精确的估计。88Th1.圆盘定理：设，则A的特征值（即都在复平面上的n个圆盘内）其中（称为盖尔圆

4、盘）Proof:设为A的特征值，X为特征向量，则，取即说明：①圆盘；称为Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘。②对A的任一特征值，总存在盖尔圆，使。③两个相交的圆盘的并集构成一个连通区域，一般地，由A的k个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连通部分，并说这是由k个盖尔圆组成的。eg1.估计的特征值的分布范围解：，，则88（与构成一连通部分，与构成一连通部分）eg2.设而则，而无特征值不一定每个圆盘都有特征根。Th2.（圆盘Th2.）设n阶矩阵A的n个圆盘中有S个圆盘构成一个与其它圆盘不相交的连通区域G，则在G中必有且只有S个特征值（圆盘相同

5、时重复记，特征值相同时也按重复记）。§3广义逆与矩阵线性方程组的解广义逆矩阵起源于线性方程组（其中是矩阵）的求解问题。如果方程组中是一个可逆矩阵，那么它的解可表示为，而且解是唯一的。在一般情况下，方程组有解的充分必要条件是，方程组有解的充分必要条件是。由此自然会想到它的解是否也可用某个矩阵表示为呢？如果它的解能表示为，那么矩阵如何求，以及具有什么性质？下面就来回答这两个问题。定理1：对任意的，存在矩阵使得都是方程的解的充分必要条件是满足。证明：先证必要性。设对任意的，矩阵使得都是方程88的解，则对，，是的一个解，所以，（）。故。再证充分性。设满足，则

6、对任意的，存在，使得，因此，即是方程的解。▌定义1设，若矩阵使得，则称是的减号逆，记作，或记。引理1:设是矩阵，，则存在非奇异矩阵使得。证明：由线性代数知识知道，对矩阵，可以利用一系列初等变换将化为如下最简型：。再对它进行列变换，就可得到矩阵。而对矩阵进行行变换，相当于用相应的初等方阵去左乘，而对矩阵进行列变换，相当于用相应的初等方阵去右乘。因此存在非奇异矩阵使得88。定理2：设是矩阵，，非奇异矩阵使得则使得的充分必要条件是其中分别是的任意矩阵。证明：先证必要性。由定理所设，存在非奇异矩阵使得，从而有。由得，。（3.1）设。将它代入3.1有，因此其中

7、分别是的任意矩阵。88再证充分性。由定理所设，存在非奇异矩阵使得。而。因此。由定理2可知，对任意，它的减号逆总存在，并且。由的任意性可知不唯一。定理2也告诉了我们求的方法：（1）求使得的非奇异矩阵；（2）写出的减号逆。由于，对矩阵进行初等变换，E的位置记录了对A进行变换的过程。，例1、求的减号逆。88解：因此其中是任意常数。特别地，就是的一个减号逆。定理3：设是的一个减号逆，则对任意，88（3.2）是的减号逆,且的任意一个减号逆都可以表示成（3.2）的形式。证明：若是的一个减号逆，，则故是的减号逆。另一方面，若是的任意一个减号逆，则，于是。取，则有。

8、▌定理4：设是的一个减号逆，则对任意，（3.3）是的减号逆,且的任意一个减号逆都可以表示成（3.3）的形式。