矩阵第五章 特征值的估计与广义逆矩阵.doc

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1、第五章特征值的估计与广义逆矩阵第五章特征值的估计与广义逆矩阵注：先讲第三节可正好与第四章给出的“矩阵范数与谱半径的关系”联系起来。§3谱半径的估计定理1，则对于任一种矩阵范数，有。推论1）；2）；3），其中为矩阵的最大特征值。定理2若A为正规矩阵，则。证明：因为A为正规矩阵，所以存在酉矩阵P，使得，故有，从而。于是。□§1特征值的界的估计引理任一给定的复数矩阵都可以表示成一个Hermite矩阵和一个反Hermite矩阵之和，其中。定理1若复矩阵的谱为，则有不等式，等号当且仅当A为正规矩阵时成立。证明：由Schur定理，存在酉矩阵U及上三角矩阵14第五章特征值的估计与广义逆矩阵，使得。注意到T

2、的对角线上的元素都是A的特征值，所以。并且等号成立的充分必要条件是T为对角矩阵，即A为正规矩阵。注意到在酉相似下，矩阵的F范数不变，所以，结论成立。□推论1A、B、C如引理1中所述。则有下列各式成立：(1)；(2)；(3)。证明：（1）由（1）式成立，得。（2）和（3）的证明：由，，得，。注意到T的对角线上的元素都是A的特征值，以及在酉相似下矩阵的F范数不变，我们有14第五章特征值的估计与广义逆矩阵□推论2设是n阶实矩阵，则，其中。注：教材中并没给出推论2的证明，可视情况处理。证明：设是A的属于特征值的单位特征向量。则有以及。于是注意到是纯虚数，上式两端取模即得，其中。注意到对于任意m个实数

3、，有，14第五章特征值的估计与广义逆矩阵所以有。又由，可得因此有。□例1估计下面矩阵的特征值的界限：。解题思路：利用推论1，根据A、B、C的表达式估计特征值的模及实部、虚部的界限；若A是实矩阵，则根据推论2，利用C的表达式估计虚部的界限。由于A是反对称矩阵，所以。§2圆盘定理（GersgorinCircleTheorem）定理1任一阶复矩阵的特征值都在复平面上个圆盘（盖尔圆）的并集内。其中（第行除对角线元素外各元素的模之和）。证明：设，写成分量形式即为：14第五章特征值的估计与广义逆矩阵，或为。设为的各分量中绝对值最大的一个，则。将等式两端同除以并取绝对值得。□注1：圆盘称为盖尔（Gersg

4、orin）圆。由定理1的证明过程知，对于A的任一特征值，总存在盖尔圆，使得。定理1只是说明了A的特征值落在A的个盖尔圆的并集内，并没有指出特征值的具体分布情况。注2：A的k个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域，称为一个连通部分。例1估计矩阵的特征值范围。。定理2矩阵A的任意一个由k个盖尔圆组成的连通部分里，有且只有A的k个特征值（当A的主对角线上有相同的元素时，则需按重复次数计算；有相同的特征值时，亦需按重复次数计算）。证明：考虑带参数u的矩阵。则，且的特征值即为各盖尔圆的圆心。根据结论：首项系数不为零的n次多项式的n个根都是其系数的连续函数14第五章特征值的估计与广义逆矩阵，矩阵的特征值是连

5、续依赖于矩阵元素的。因此的特征值是连续依赖于u的。考虑的情形。此时是的特征值，是的特征值。因此在复平面上画出的曲线必然以为起点，以为终点。设的一个连通部分是由其k个盖尔圆构成的，记做D。因此的k个特征值必在其中。如果D中没有的k个特征值，则至少有一个，使得点连续地变动到点，且在D之外。由于是A的特征值，因而必定在A的另一个连通部分之中。一条连续曲线的起点在D中，而终点在中，这条曲线必然有一部分既不在D中，也不在中，也不在A的其它连通部分之中。也就是说，存在，使得不在A的所有盖尔圆之中。但因是的特征值，因而必定在盖尔圆的并集之中。注意到包含在之中，所以产生矛盾。同样可以证明，A在D中特征值的个

6、数也不能多于k个。因此A在D中特征值的个数只能是k个。□例2讨论矩阵A的特征值的分布状况。。14第五章特征值的估计与广义逆矩阵§4{1}-广义逆矩阵与线性方程组的解一、{1}-广义逆矩阵的概念定义1设，若存在，使得对于任意维列向量，当线性方程组有解时，是该方程组的解，则称是的一个{1}-广义逆矩阵，记为。注：该定义是以线性方程组相容时解的表示为桥梁所构造。定理1对给定的，是的一个{1}-广义逆的充要条件是：（1）注：该定理说明了{1}-广义逆命名的缘由。证明：充分性：设是的一个解，由得：，即有。故是该方程组的解，即是的一个{1}-广义逆。必要性：设是的一个{1}-广义逆，则对于任意的，是方程

7、组的解，即。设，则有，故有，从而。□注：表示的像空间，即由的列向量组张成的子空间。二、的{1}-广义逆的存在性及求法定理2设，则存在，，使得。则的所有{1}-广义逆的集合为。（2）证明：14第五章特征值的估计与广义逆矩阵于是，有，即（2）式成立。注1：任一矩阵A的{1}-广义逆存在，且一般不唯一。注2：当A是可逆矩阵时，有。事实上，此时。例1已知，试求表示成（2）形式的{1}-广义逆矩阵G。解：14第五章特征