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时间：2018-12-07
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1、第二十一讲广义特征值与极小极大原理一、广义特征值问题1、定义：设A、B为n阶方阵，若存在数，使得方程存在非零解，则称为A相对于B的广义特征值，x为A相对于B的属于广义特征值的特征向量。●是标准特征值问题的推广，当B＝I（单位矩阵）时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。●特征向量是非零的●广义特征值的求解或者特征方程求得后代回原方程可求出x本课程进一步考虑A、B厄米且为正定矩阵的情况。2、等价表述（1）B正定，存在，广义特征值问题化为了标准特征值问题，但一般来说，一般不再是厄米矩阵。（2）B厄米，存在Cholesky分解，，G满秩令则也成为标准特征值问题。为厄米矩阵，
2、广义特征值是实数，可以按大小顺序排列，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在满足还原为(i=1,2,,n)，则（带权正交）一、瑞利商A、B为n阶厄米矩阵，且B正定，称为A相对于B的瑞利商。线性无关，所以，，存在，使得●证明：k为非零常数可取，（闭区域）当或时，另一方面，[证毕]当B＝I时，标准特征值问题（）则进一步分析可得定理1.设,则这一结果不便于应用，希望对上述结果进行改造，改造成不依赖于的一种表达方式。和的情况均对应于x在（n-1）维的子空间内变动，x在L中变动是在一个(s-r+1)维子空间中变化。一般的，x在的(n-1)维子空间中变动时，即，对于不同的，的最小
3、值及最大值有可能不同，其中各个最小值中最大者为，各个最大值中的最小者为定理2.设是的一个k维子空间，则以上两式称为广义特征值的极小极大原理。●B＝I时，标准特征值问题同样存在上述关系。●矩阵奇异值问题：（非零）
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