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《strongart数学笔记：浅谈c星代数的乘子代数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、浅谈C*-代数的乘子代数(对于一个不带单位元的C*-代数A，我们可以把它进行单位化，这大致有两种方法，一是纯代数意义上的单位化，二是算子意义的单位化，后者就将导出本文的主角乘子代数（multiplieralgebra）。先看纯代数的单位化，那么就是考虑A⊙C，定义乘积为(a,λ)(b,μ)=(ab+μa+λb,λμ)，它有单位元（1,0），这样作为抽象环的单位化就完成了。接下来，我们还要定义范数为
2、(a,λ)
3、=‖a‖+
4、λ
5、，但遗憾的是，这样的范数只能作为Banach代数的单位化，而不是C*-代数的单
6、位化，因为它可能不满足C*-方程。比如当A=C时，取x=(1,-2)(?)，则‖xx*‖≠‖x‖^2(!)，要想让它满足C*-方程，就必须重新定义范数：‖(a,λ)‖=sup{‖xy+λy‖；y∈A，‖y‖≤1}.这样的乘子范数启发，我们可以把A内的元素都看成一个乘子，具体哟左乘子L_a(b)=ab与右乘子R_a(b)=ba.根据它们的性质，我们可以得到抽象意义上的左右乘子（L,R），满足基本性质：L(ab)=L(a)b,R(ab)=aR(b),aL(b)=R(a)b这就是所谓的双中心化子。此后，我们可
7、以分别定义(L,R)的范数、乘积与*算子为：‖(L,R)‖=‖L‖=‖R‖（可由aL(b)=R(a)b导出）‖(L,R)(L',R')‖=‖(LL',R'R)‖（L,R）*=(R*,l*)这样就可以把（L,R）构造为C*-代数，称为A的乘子代数，记作M（A）.从A到M（A）可以通过典型嵌入a→(L_a,R_a)，此时可以把A视为M（A)的子代数，可以证明A实际上就是M（A)的本性理想，由此可以定义克洛代数（coronaalgebra）Q（A）=M（A）/A.同时，M（A）一定包含恒等映射，因此它作为C*
8、-代数一定是有单位元的，只不过这个恒同映射在A内的逆像1可能不存在！乘子代数的一个典型例子给定可分Hilbert空间H，那么H上的有界线性算子代数B（H）=M（K（H）），其K（H)为H上的紧算子代数.更一般的对于HilbertB-模E，有B（E）=M（K（E））.同时，假若把C*-代数A本身视为自己的HilbertA-模，那么可以得到乘子代数的一个Hilbert模的解释：M（A）=B（A）.对于交换C*-代数而言，它的单位化是有拓扑学意义的，特别是与拓扑空间的紧化密切相关。通过Gelfand变换，交换
9、C*-代数都可以被视为C_0(X)，其中X是局部紧Hausdorff空间.这里有个非常有意思的对应关系，它的代数单位化就是C(X+），其中X+是X的单点紧化；而它的算子单位化则是C(βX），其中βX是X是Stone-Cech紧化。这两种拓扑空间的紧化恰好就是最小与最大的紧化，分别对应着C*-代数的最小与最大的单位化。此时，对应的克洛代数Q（A）=M（A）/A=C(βXX),其中βXX就称为拓扑空间X的克洛空间（coronaspace）.当X=R时，其单点紧化就是加一个无穷远点构成S^1，而Stone
10、-Cech紧化则是正负无穷处分别加一个正负无穷大点，因此它的克洛空间由正无穷与负无穷两个点组成。既然乘子代数的关键是把元素看成乘子，那么我们可以定义一种特殊的严格拓扑（stricttopology）。设A是在B（H）上有非退化表示的C*-代数，那么其严格拓扑就是使得x→xa，x→ax，a∈A，x∈B(H）关于范数连续的最弱拓扑。同时我们有：某网A内的网逼近单位元iff它严格收敛于1∈M（A）.显然，严格拓扑要弱于一般的范数拓扑。同时，当A带单位元时，有A=M（A)，它们两者是一致的。假若A不含单位元，可
11、考虑Q（A）=M（A）/A，它包含单位元1，这样就有A的逼近单位元严格收敛于1∈Q（A），但却不是按范数收敛于1，因此无单位时严格拓扑并等于范数拓扑。严格拓扑比范数拓扑的优越之处在于可以完全刻画乘子代数，乘子代数M（A）在严格拓扑下是完备的，实际上它就是A在严格拓扑下的完备化。乘子代数M(A)在C*-代数的扩张理论中有重要的意义，主要是可以定义所谓的Busby不变量。给定C*-代数的正合列：0→A→B→C→0，则总存在σ：B→M（A），使得它与上述正合列中α：A→B的复合是A到M（A）的典型嵌入。对任何
12、c∈C，存在其原像b∈B，定义τ（c）=π·σ（b），称为此正合列的Busby不变量（映射）着就相当于我们把C*-代数的正合列0→A→B→C→0整体的映射到正合列0→A→M（A）→Q（A）→0上，其中A=A，σ：B→M（A），τ：C→Q（A）.Busby不变量的主要意义就在于可以用来确定C*-代数的扩张等价类，具体来说C*-代数A通过C的扩张是等价的iff它们有相同的Busby不变量，而这样的扩张是平凡的（即B是A与C的直和）iff它们的B
