仿射空间中若干曲线和曲面

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1、ADissertationfortheDegreeofDoctorinScientificComputationandInformationProcessingCurvesandSurfacesinAffineSpacebyYuYanhuaSupervisor：ProfessorLiuHuiliNortheasternUniversityApril2010独创性声明本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果

2、，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者繇寸受宁日期：砂f。、尸哆学位论文版权使用授权书本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后：半年口一年口一年半口／两年留学位论文作者签名：

3、殍竿导师签名：纠亏t签字日期：矽(由-f}．弓‘签字日期：hlo、P．弓东北大学博士学位论文摘要仿射空间中的若干曲线和曲面摘要仿射空间彳”的仿射几何是讨论图形在仿射变换下的不变量和不变性质的一个几何分支。设彳3是具有半Euclidean内积名=AxlYl+如_)c2Y2+乃_)c3乃的仿射空间，其中A=±1，五=±1，五=±1，x=(xl，X2，屯)，y=(M，Y2，Y3)∈A3，则仿射空间A3称为半Euclidean空间。当五=丑=丑=1时，半Euclidean空间彳3是传统的3维Eu

4、clidean空间E3．当A=五=1，五=一1时，半Euclidean空间43是3维Minkowski空间霹(或Lorentzian空间叠)。对Lorentzian空间的研究为Einstein创建和发展广义相对论提供了有效的数学工具。反过来，广义相对论的发展也大大促进了对Lorentzian空间的研究。从而在半Euclidean空间中研究曲线和曲面是非常有意义的。本文主要在三维仿射空间彳3中讨论了曲线及曲面。对于平面二次曲线，Dong—SooKim和Young—HoKim讨论了Euclidean空

5、间中平面上椭圆和双曲线的性质。而在本论文第三章的曲线部分中，首先使用支函数h和曲率函数K的关系刻画了二维Euclidean空间中抛物线的性质，根据这些性质得出当平面曲线的支函数h和曲率函数K满足条件K=一冬h。3时，该啦线是一条焦点在原点的抛物线。芍接下来根据同一条平面曲线在Euclidean空间中和在仿射空间中的不同结构方程，建立了仿射曲率蜀与欧氏曲率K的关系，即√耐(9《2筮孵一45rr'tc8+36tc4誓’+40tc乃)=K7√r(3脒”一5r以+9t04)3．并由仿射曲率K为常数时，平面

6、曲线为二次曲线这一特性讨论了Euclidean空间中的曲线，这进一步验证了二次曲线的支函数h和曲率函数誓的关系。最后根据曲线的结构方程讨论了在仿射空间中空间曲线的不变量，得出三维仿射空间中的两个不变量r2r(ds)6和A五埘一萋一等一筹+篓+百2r"(《2f)3与环绕空间的度量选取无关。在第四章的曲面部分中，首先讨论的是乘积极小曲面S在三维Euclidean空间及三维Minkowski空间中的分类。由于局部的可将曲面r(x，Y)看成一个图．TTT．东北大学博士学位论文摘要r(x，y)=(z，Y，z

7、(x，夕))，这样乘积曲面S的表达式可以写为z=厂(x)g(y)、Y=f(x)g(z)或x=f(y)g(z)．当具有以上形式的乘积曲面极小时，本文根据相关的微分方程给出了乘积曲面详细的分类。由于Minkowski空间中的旋转可以绕三类旋转轴进行，即类空的，类时的和类光的，则Minkowski空间中的旋转对应着三种类型的旋转矩阵，同一条轮廓曲线在不同的旋转矩阵作用下可得到不同的旋转曲面。本文在第四章的第二部分考虑三维Minkowski空间中旋转曲面的平均曲率日为给定函数时，不同类型的旋转曲面的分类。

8、在三维仿射空间中，直纹曲面S的表达式为x(u，v)=口@)+vb(u)．本文在第四章的第三部分讨论了线性Weingarten中心仿射直纹曲面的分类问题：当具有以上形式的直纹曲面极小时，本文根据结构方程和相关的偏微分方程给出了详细的分类，并得出非退化的中心仿射直纹曲面极小的充分必要条件是其Guass曲率是常数。如果曲面S的高斯fHj率K和平均曲率H满足线性关系丑K+,t2H=兄，其中^，五，旯是常数，则此曲面称为线性Weingarten曲面。显然，常高斯曲率的曲面和常平均曲率的曲面都