二次曲线的仿射理论

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1、§4.6二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系二、二阶曲线的中心三、直径与共轭直径双曲型抛物型椭圆型相异的实点重合的实点共轭的虚点×l∞=A33的符号仿射不变.有心：(A31,A32,A33);无心：(A31,A32,0)或(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0).性质.在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中,直径与共轭直径的对应是一个对合.四、渐近线1.定义.二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线.注1.等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线.注2.与渐近线平行的方向称为渐近方向.注3.双

2、曲线椭圆有两条实虚渐近线,一对渐近方向；抛物线无渐近线.从而,渐近线只对有心二阶曲线讨论.§4.6二次曲线的仿射理论§4.6二次曲线的仿射理论四、渐近线1.定义2.性质(1).渐近线是自共轭的直径.(2).在以二阶曲线的中心为束心的线束中,渐近线是对合的两条不变直线.(3).有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭直径.双曲线双曲型对合椭圆椭圆型对合§4.6二次曲线的仿射理论四、渐近线3.求渐近线方程设已知有心二阶曲线求Γ的渐近线方程.法一.利用对合不变元素.在中,令k=k'得不变元素方程为此方程的两根即为渐近线方

3、向.设两根为ki(i=1,2),分别代入即可得两渐近线方程.评注：此法简单且直接,但若上述参数表示中的两基线之一为渐近线,则ki中应有0或∞,实际计算时容易丢失一条渐近线.§4.6二次曲线的仿射理论四、渐近线3.求渐近线方程评注：此法简单且直接,只要求出中心的非齐次坐标,渐近线的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式).法二.利用中心和渐近方向.这表示过原点的两直线,其上无穷远点即为与l∞的交点,从而它们平行于两渐近线,化为非齐次,得设中心的非齐次坐标为(,).则渐近线的方程为§4.6二次曲线的仿射理论四、渐近线

4、3.求渐近线方程评注：此法推导繁,实用不繁,因为在做题时,首先判断是否退化,

5、aij

6、已有,再判断是否有心,A33也已知,从而为已知.法三.利用切线方程.渐近线为过中心的切线,将中心P(A31,A32,A33)代入SppS=S2p,即得渐近线方程.现对此法进行整理,因为由于P为中心,所以上式前二项的系数等于0,从而将中心坐标代入,得由此又得从而,过中心的切线(渐近线)方程为令得渐近线方程为§4.6二次曲线的仿射理论四、渐近线3.求渐近线方程例1.(P.142,例4.22)求双曲线x2+3xy-4y2+2x-10y=0的渐

7、近线方程.解.法一、法二.见教材.以下分析法三.有两种途径.途径一.直接计算

8、aij

9、和A33,然后求出,即可写出方程(4.42).途径二.因为渐近线的方程为(4.42)表示一条退化二阶曲线,退化为两条相交直线(渐近线).故从中解出,代入(4.42)即可.这是教材上的方法.§4.6二次曲线的仿射理论五、应用举例例2.(P.143,Ex.5)求下列两二阶曲线的公共共轭直径解.经验证,两曲线均为非退化有心二阶曲线(椭圆),有公共的中心为坐标原点.所以可能有公共的共轭直径.两曲线的共轭方向方程(即直径与共轭直径的对合)分别为

10、联立上述,解出公共的共轭方向为分别代入直径方程(4.37),得到公共共轭直径的方程为§4.6二次曲线的仿射理论五、应用举例例3.双曲线的任一切线交两渐近线于两点,求证：切点是此二交点连线的中点.证明.如图,只要证(PQ,MN∞)=–1.为此,只要证CM,CN∞为一对共轭直径.M的极线为PQC的极线为l∞CM的极点为l∞PQ=N∞N∞的极线为CMC的极线为l∞CN∞的极点为l∞CM=M∞CM,CN∞为一对共轭直径.§4.6二次曲线的仿射理论五、应用举例例4.(P.144,Ex.9)任一直线交双曲线与两渐近线成相等线段.证

11、明.目标：PA=BQ.取AB中点M,则从而,M在N∞的极线上.CM,CN∞为一对共轭直径.于是有即M也是PQ的中点,于是有PA=BQ.§4.6二次曲线的仿射理论五、应用举例例5.求证：双曲线上任一点处的切线与两渐近线围成的三角形面积为定值.证明.目标：三角形ABC面积为定值.只要证只要证只要证只要证AB',A'B,l∞共点于P∞.因为AB,A'B',t,t'构成的一个外切四线形,根据定理4.10的对偶,我们有,这个四线形两双对顶的连线(即AB',A'B)与两组对边上切点的连线(即l∞与AB,A'B'上的切点连线)必定四线

12、共点.立即得结论.§4.6二次曲线的仿射理论五、应用举例例6.(P.144,Ex.10)从双曲线上任一点分别作平行于两渐近线的直线,求证：这两直线与两渐近线围成的平行四边形面积为定值.证明.目标：四边形ACBM面积为定值.过M作的切线,分别交的两渐近线于P,Q.则M为PQ的中点.由例5,三角形CPQ