有关二次曲线的仿射理论与度量理论的习题

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1、有关二次曲线的仿射理论与度暈理论的习题（一）二阶曲线的中心、直径、渐近线习题1.求二阶曲线，+2心+2），+4兀+2丁+1=0的中心与过点（1,1）的直径及其共轨直径。2.求以下二阶曲线的直径，其所分平面的眩与给定的直线平行（i）兀2—y?+3x+y—2=0,2兀+y=0(ii)E®"7=i3.求证：有心二阶曲线直径与共饥直径的对应为对合。4.求证：二阶曲线的以片为屮点的弦HK平行于斥的极线，又如果片（卩，力*3），求出赵的方程。5.求二阶曲线a^+lhxy-^by1=1与a'x2+2hxy^+bfy2=1的公共的共轨直径并证明它们与所给的二阶曲线

2、的一对公共弦调和共轨。6.如图，T是有心二阶曲线弦00的极点，0是中心，0T交00于V,交二阶曲线于t/Q'。求证：少吨OU2=OVOTT7.给定二级曲线方程工竹卅旳=0o如何求中心？以222、U{—UXU2+比2+W)W3+2w2M3+饥3=0为例说明。8.求下列双曲线的渐近线(i)3d2+3小-4)“+2兀一10y=0(ii)xy-^-y2-x-3y-2=09.设PP是二阶曲线的直径，任何点Q的切线与P的切线交于R,PQ交PR于X。求证：PR=RXV10・求证：S三工奶兀二啲以&（）,儿）为中点的眩的方程为(°1】尤0+卩2歹0+卩3)(兀—兀

3、())+(°21兀0+^22歹0^23—丿())=0°由此再证明有心二阶曲线通过固定点P（a,0）的弦的中点的轨迹仍是二阶曲线且以PC中点为中心（英中C是原二阶曲线的中心）。（二）二阶曲线的主轴、焦点与准线习题1.已知抛物线2x2+4x^+2/-4x+l=0,求其主轴、顶点、焦点、准线。2.已知双曲线7x2+6xy-y2-16=0,求其主轴、顶点、焦点、准线。3.如图，求证：FF.GG是共轨直径。丄5.设有外切于一抛物线的三点形，求证：三点形的外接圆通过抛物线的焦点。B6.设S三工①內兀=认苟=ci）有心，求有一交点为原点。（742/4、求证：S=

4、0还有一个焦点为一—,一—o,企3人33>7.设T是二阶曲线弦PQ的极点，F是一个焦点，PQ交与F相应的准线于R,求证：FT、FP是ZPFQ的平分线，问PQ通过F时，得到什么结果？片22128.如果椭圆二+J=l（G>b）看作是由焦点（。,司与准线｝'=—而产生的，试求其离心ab~ci率。9.求证：有心二阶曲线的垂直切线的交点的轨迹是一个圆。