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《仿射等周不等式与Orlicz Brunn-Minkowski理论.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
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3、苗．－－ｆ’ｊ气．－．：：一．－．－／ｉＶ．．秦＇．．．￥；－＾、．若：＼＇；：ｆ；１－．蔓‘－／．＇狂認義；：．上海大学理学博士学位论文仿射等周不等式与OrliczBrunn-Minkowski理论作者：席东盟导师：冷岗松教授专业：基础数学上海大学理学院2015年9月ADissertationSubmittedToShanghaiUniversityfortheDegreeofDoctorinScienceAffineisoperimetricinequalitiesandtheOrliczBrunn-Mink
4、owskitheoryPh.D.Candidate:XiDongmengSupervisor:Prof.LengGangsongMajor:PureMathematicsCollegeofSciencesShanghaiUniversitySeptember,2015摘要本论文的研究内容属于凸几何分析,内容涉及仿射等周不等式与OrliczBrunn-Minkowski理论.Brunn-Minkowski理论是凸几何分析的核心内容,它的发展起源于对两个凸体与它们的Minkowski和之间的体积关系的研究,由此产生了著名的Brunn-Minkowski不等式,整个Brunn-
5、Minkowski理论的奠基石.仿射等周不等式主要研究凸体的一些仿射量的极值问题,是凸几何分析理论中的一个重要组成部分.经典的仿射量包括仿射表面积,投影体的体积,质心体的体积等,它们在信息论,分析学等领域有广泛的应用.仿射等周不等式的另一个意义是:经典等周不等式特征了单位球,而一般的仿射等周不等式能够特征更多重要的几何体,如椭球,单形,立方体,平行多面体等等.在本文第二章,我们将对OrliczBrunn-Minkowski理论的理论框架展开研究.这个理论起源于Lutwak,Yang和Zhang[89,90]在2010年的工作.在本章,我们定义了凸体的Orlicz加法,建立
6、了相应的OrliczBrunn-Minkowski不等式.更多地,我们也将Lp混合体积推广到了Orlicz情形,并使用我们的OrliczBrunn-Minkowski不等式证明了关于Orlicz混合体积的Minkowski型不等式.这些结果是LpBrunn-Minkowski理论中的基本量和基本不等式的推广.本论文第三章的主要研究内容是Lp平均带形的仿射等周不等式.平均带形的定义是由Zhang(华人数学家张高勇教授)[116]在首次证明著名的逆Petty投影不等式一文中提出的,并且他在该文中使用积分几何的方法得到了关于这种几何体的仿射等周不等式.关于Lp平均带形的体积不等
7、式,延续该方法似乎并不适用,我们在本文中使用Steiner对称的技术证明了关于它的仿射等周不等式.在最后一章,我们首先对Dar猜想展开研究.这个猜想是以色列数学家Dar在1999年提出的,是Brunn-Minkowski不等式的一个强化版.2011年,Campi,Gardner和Gronchi[14,Page1208]指出:即使对于2维的中心对称I凸体,这仍是一个公开问题.我们在本文中证明了这个猜想对2维的所有凸体都是正确的,并且给出了等号成立的充要条件.关于平面原点中心对称凸体的log-Brunn-Minkowski不等式是
