二次曲线的射影理论

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1、第五章二次曲线的射影理论本章首先给出射影平面上二次曲线的射影定义，然后在此基础上讨论二次曲线的射影性质及其分类。§1二次曲线的射影定义1.1二次曲线的射影定义定义1.1在射影平面上，若齐次坐标（x1，x2，x3）满足下列三元二次齐次方程其中aij（i，j=1，2，3）为实数，并且至少有一个不是零，则这些点的集合称为二阶曲线。二阶曲线的方程可以写成矩阵形式：其中（aij）用A表示叫系数矩阵，用

2、A

3、或

4、aij

5、表示系数行列式。定理1.1两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。证明在射影平面上建立射影坐

6、标系后，设两个线束的方程为α+λβ=0，α′+λ′β′=0，由于它们是射影对应，所以λ，λ′满足：aλλ′+bλ+cλ′+d=0(ad－bc≠0).由以上三个式子消去λ，λ′得即.因为α，β，α′，β′都是x1，x2，x3的一次齐次式，所以上式是关于x1，x2，x3的二次齐次方程，它表示一条二阶曲线。而且α=0与β=0的交点和23α′=0与β′=0的交点的坐标都满足这个方程，因此形成此二阶曲线的两个线束中心也在这条二阶曲线上。定理1.1的逆定理也成立，定理1.1中形成二阶曲线的两个射影对应线束的中心并不具有特殊性，可

7、以证明，二阶曲线上任意两点都可以看作生成这条二阶曲线的射影对应线束的中心。定理1.2设有一条二阶曲线，它是由两个成射影对应的线束对应直线的交点构成的，那么以这条二阶曲线上任意两点为中心向曲线上的点投射直线，则可以得到两个成射影对应的两个线束。证明设二阶曲线是由以O，O′为中心的两射影线束O（P）和O′（P）所生成。在此二阶曲线上任意取定两点A和B，设M为曲线上动点，我们只须证明出A（M）B（M）即可。如图所示，设AM与OP，OB交于K，B′，BM与O′P，O′A交于点=K′，A′，于是O（A，B，P，M）O′（A，B

8、，P，M）所以O（A，B，P，M）（A，B′，K，M）（A′，B，K′，M）O′（A，B，P，M）所以（A，B′，K，M）（A′，B，K′，M）由于两底的交点M是自对应点，因此（A，B′，K，M）（A′，B，K′，M）所以两点列对应点连线交于一点，也即AA′，BB′，KK′23共点于点S。S为一定点，这说明当M点变动时，OP上点列（K）与O′P上点列（K′）成透视对应，对应点连线KK′通过一个定点S，所以有A（M）OP（K）O′P（K′）B（M）即A（M）B（M）推论1平面内五个点，若其中任意三个都不共线，则这五个点

9、可确定唯一一条二阶曲线。推论2若二阶曲线上任一点向此曲线上四定点连四条直线，则此四直线的的交比是常数。例1求两个成射影对应的线束：x1+λx3=0与x2－μx3=0（λ+μ=1）所构成的二阶曲线的方程。解因为λ+μ=1，所以μ=1－λ，于是两线束可以写成：即消去λ得整理得二阶曲线的方程为定义1.2在射影平面上，成射影对应的线束的对应直线的交点的集合称为二阶曲线。注意上述定义包含了退化的情况：如果两个成射影对应的线束是透视的，此时二阶曲线退化成两条直线，一条是透视轴，另一条是两线束中心的连线。定义1.3在射影平面上，若

10、齐次线坐标[u1，u2，u3]满足下列三元二次23的直线的集合叫做二级曲线。其中aij′（i，j=1，2，3）为实数且不全为零。二阶曲线与二级曲线统称为二次曲线。定理1.1′两个不同底的成射影对应的点列，它们对应点的连线的集合是一条包含两个底在内的二级曲线。定理1.2′设一条二级曲线是由两个不同底的成射影对应（非透视对应）的点列的对应点连线构成的。则二级曲线上任意两条定直线与二级曲线上的直线相交，便可得到以这两个定直线为底的成射影对应的两个点列。推论1′平面上无三线共点的任意五条直线唯一确定一条二级曲线。推论2′二级

11、曲线上任意一条直线与曲线上四条定直线相交所得的四个交点的交比值是常数。例1如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则她们也同时外切于一条二次曲线。证明三点形ABC和三点形A′B′C′，内接于二次曲线（C），设AB∩B′C′=D，AB∩A′C′=E，AB∩B′C′=D′，A′B′∩AC=E′，则C′（A，B′，A′，B）C（A，B′，A′，C）所以（A，D，E，B）C′（A，B′，A′，B）C（A，B′，A′，C）（E′，A′，B′，D′）23即（A，D，E，B）（E′，A′，B′，D′）由定义可知，这两个点列对应点连线A

12、C，BC，C′A′，B′C′连同两个点列的底AB，A′B′属于同一条二级曲线（C′），亦即三点形ABC和三点形A′B′C′的边外切一条二次曲线。1.2二阶曲线与二级曲线的关系我们先来讨论二阶曲线与直线的相关位置设两个点P，Q坐标分别为P（p1，p2，p3），Q（q1，q2，q3），则直线PQ上任意点的坐标（x1,x2,x3）可以写成xi=pi+