二次曲线的理论及其应用文献综述

《二次曲线的理论及其应用文献综述》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、文献综述二次曲线的理论及其应用　　　　一、前言部分在中学，我们就二次曲线的性质进行了简单的介绍，它在中学的教学里有很重要的地位，是中学平面解析几何中不可或缺的一部分，在本文中的一些定理的证明都利用到了二次曲线的基本性质。可以这样说，二次曲线的其它性质都是建立正在他的基本性质之上。所以我将对它进行一下总结，建立表格如下：椭圆双曲线抛物线标准方程范围或对称性关于x轴或y轴对称关于原点中心对称关于x轴或y轴对称关于原点中心对称关于x轴顶点离心率渐近线无无准线焦点过曲线上点的切线方程二次曲线的定义：在欧式平面上，由一般二元二次方程（其中，，

2、）表示的曲线，称为二次曲线，此方程称为二次曲线的方程。定义1.1：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。它的方程为。定义1.2：到两个定点的距离的差的绝对值等于定长（定值小于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做双曲线。它的方程为。定义1.3：到一个定点和一条直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。它的方程为文献综述介绍了二次曲线的定义，给出了二次曲线的分类，介绍了一些二次曲线的化简方法，以及对二次曲线的一些性质与特征的进一步讨论。本文的目的是在原有知识体系的基础上加以整理和归纳，概括出二次曲线的性质

3、与几何特征，并辅以典型的例题来论证方法的可行性，进而介绍了二次曲线方程的应用，使我们所学知识加以巩固和提高，起到“温故”而“知新”的作用。二、主题部分公元前350年，古希腊梅纳克莫斯发现三种圆锥曲线，即现在所说的椭圆，双曲线，抛物线，并用开始编写几何学的历史。古希腊的塞马力达斯开始解简单方程组。半个世纪后，古希腊另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥曲线论》．阿波罗尼斯的8卷《圆锥曲线论》以其几乎将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽而永垂史册．可以这样说，在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著作中，没有一本达到像《圆锥曲线论》那样的对圆锥曲线研究得

4、如此详尽的程度．但是，像古希腊所有的几何学一样，阿波罗尼斯的几何是一种静态的几何．它既不把曲线看作是一种动点的轨迹，更没有给它以一般的表示方法．这种局限性在16世纪前，并没有引起注意，因为实践没有向几何学提出可能引起麻烦的课题．16世纪以后的情况就不同了．哥白尼（Copernicus，1473－1543）提出日心说，伽利略（Galileo，1564－1642）由物体运动的研究，得出惯性定律和自由落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．地球绕太阳运转的轨道是椭圆、物体斜抛运动的轨道是抛物线，

5、这些远不是靠建立在用平面截圆锥而得到的椭圆和抛物线的概念所能把握的．几何学要能反映这类运动的轨道的性质，就必须从观点到方法来一个变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学．17世纪解析几何的诞生创造了为二次曲线的研究创建了条件．作为点运动轨迹的二次曲线，在引进坐标的基础上显示出更明显的特征，它是二次方程的图形，即它又被命名为二次曲线。现在我们谈谈二次曲线的一些其他性质。性质1　二次曲线的弦平分弦于O,过点A,B作曲线的切线,分别交直线MN于C,D,则CM=DN.分析　如图1,以O为原点,直线MN为x轴建立直角坐标系.设点C,D的横坐标

6、分别为,要证CM=DN,因为O为MN的中点,所以只需证O也为CD的中点,即证明证明　设直线AB的方程为,点,点.设曲线的方程为,令,得曲线与x轴的交点M,N的横坐标满足方程.由韦达定理得:。又因弦AB平分弦MN于点O,故原点O为MN的中点,所以所以,即d=0.于是曲线的方程可简化为.所以曲线在点处的切线方程为,即所以曲线在点处的切线AC的方程为。令y=0,得切线AC与x轴的交点C的横坐标为同理可得切线BD与x轴的交点D的横坐标为.以上两式相加得.（1）?由直线AB与曲线的方程联立得:.消去y整理得:.由于直线AB与曲线相交于,两点,

7、故上述方程的两根为A,B的横坐标,,据韦达定理得.将上式代入（1）式得:.所以OC=OD.又OM=ON,所以CM=DM.性质2：从双曲线上一点K，向以实轴为直径，原点为圆心的圆0引两条切线，切点为A,B，直线AB与x轴，y轴分别相交于点M,N则证明：如图，设点K的坐标为，圆O的方程为，则以切点为端点的弦AB的方程为令，得;令，得所以；因为点K在双曲线上，所以故性质3:过圆锥曲线内定点M的弦．其两端切线的交点共线．证明：设圆锥曲线：(p>0，e为离心率)，是过内定点M的弦，其两端切线的交点为，，，则直线为：．因为点M在上，所以即交点T

8、在定直线：上，故过圆锥曲线内定点M的弦为其两端切线的交点共线．我们在理解了二次曲线的一些性质之后，我们在来看一些二次曲线的特征。在平面解析几何中,圆、抛物线、双曲线等具有典型的几何特征属性,都与其切线有密切相关的内在联系,并且，通过这