二次曲线的一般理论.ppt

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1、第五章二次曲线的一般理论主要内容⑴二次曲线与直线的相关位置⑵二次曲线的渐近方向、中心、渐近线⑶二次曲线的切线⑷二次曲线的直径⑸二次曲线的主直径与主方向⑹二次曲线方程的化简与分类⑺用不变量化简二次曲线的方程教学目的：⑴了解复平面的特征；⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径、主方向和主直径概念及求法；⑶弄清移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律，以及这两种坐标变换在化简二次曲线方程中所起的作用；⑷能判别二元二次方程所表示的曲线的类型，熟练地化简二次曲线方程，并写出相应变换关系式，作出其图形。教学重点：⑴二次曲线由渐近方向、中

2、心、标准方程得出的不同分类方法；⑵二次曲线方程的化简、分类与作图。教学难点：移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律及其在化简二次曲线方程中所起的作用。第五章教学要求§5.1二次曲线与直线的相关位置教学目标：⑴了解复平面的特征；⑵熟记二次曲线方程中的有关记号；⑶掌握二次曲线与直线的相关位置及判别方法。教学重点：二次曲线方程中的有关记号及二次曲线与直线的相关位置。教学难点：二次曲线与直线位置的判别方法。二次曲线的一般理论前言在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最

3、后对二次曲线进行分类。一平面上的复元素今在复平面上引入下列复元素⑴复向量：⑵复直线：在直角系下,一次方程ax+by+c=0(a,b为复数)所表示的图形,称为复直线;若a,b,c与三实数对应成比例,则称其为实直线,否则称其为虚直线。注意:实直线可以有虚点。注：实直线上有无穷多个复点，但虚直线上只有一个实点。⑶定比分点：⑷共轭复元素：三为了方便起见，特引进一些记号：二次曲线与直线的相关位置讨论二次曲线与直线的交点，可以采用把直线方程⑵代入曲线方程⑴然后讨论关于t的方程。…⑴…………………………⑵对⑶或⑷可分以下几种情况来讨论：解:将直线化为参数形

4、式得:为(1,0),所以直线在二次曲线上，即直线上所有点均为交点。例求直线与二次曲线的交点。因为:§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线教学目标：⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念；⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法；⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。教学重点：二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。教学难点：根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。事实上，为

5、渐近方向事实上，为渐近方向可见，对椭圆，∵对双曲线∴它有二不同实渐近方向；∴它有二相同的实渐近方向；，∵，∵∴它有二共轭复渐近方向；对抛物线对双曲线∴它也有二不同实渐近方向；，∵定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。即:⑴椭圆型:I2>0；⑵抛物型:I2＝0；⑶双曲型:I2<02.二次曲线的中心与渐近线定义5.2.3如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。定理5.2.1点C(x0,y0)是二次

6、曲线(1)的中心，其充要条件是：定理5.2.1点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：的根，而由弦的任意性,∴定理5.2.1点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：推论坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：定义5.2.4有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为

7、非中心二次曲线。二次曲线分类：渐近线求法1：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。定义5.2.5通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。可见：椭圆型二次曲线有二共轭复渐近线;双曲型二次曲线有二不同实渐近线;而对抛物型二次曲线,若其为无心的,则其没有渐近线,若其为线性的,则由于其渐近方向为，而这正是中心直线的方向，∴它的渐近线即为中心直线。定理5.2.2二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。则l与曲线不相交，例1试证明如果二次曲线a11x2+2a12x

8、y+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有渐近线，那么它的两渐近线方程是Φ(x-x0,y-y0)≡a11(x-x0)2+2a12(x-x0)(y-y0)+