第五章二次曲线的一般理论.doc

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1、第五章二次曲线的一般理论主要问题：（1）几何性质（2）化简（3）分类5.1二次曲线与直线的相关位置（）一、预备知识1、在平面上由所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数）2、关于虚点平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数表示平面上一个点，如果中至少有一个是虚数，我们仍认为表示平面上一个点。（一对共轭虚点的中点是实点）3、记号容易验证：二次曲线的矩阵的矩阵例：写出下列二次曲线的矩阵二、相关位置二次曲线与过点且具有方向的直线联立，1、方程有两个不等实根有两个不同的实交点方程有两个相等实根有两个相互重合的实

2、交点方程有两个共轭虚根交于两个共轭的虚点2、，有唯一实根有唯一实交点没有交点直线全部在二次曲线上eg1、试确定使直线与二次曲线交于两个不同实点，交于一点注：平面直线方程：5.2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线一、渐近方向1、定义：满足叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向渐近方向总有确定的点2、按渐近方向分类若若若则一定有此时故二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向二次曲线有一个渐近的实方向二次曲线有两个渐近的实方向显然：二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无穷个按渐近方向可分为三种类型（

3、1）椭圆形曲线（2）抛物线曲线（3）双曲型曲线二、二次曲线的中心与渐近线定义：如果点是二次曲线通过它的所有弦的中点，称点是二次曲线的中心是二次曲线的中心推论：是二次曲线的中心曲线方程不含的一次项证：将直线方程代入，得：由于是两交点的中心由于为任意非渐近方向（1）若（2）若二次曲线定义：通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。Th1、二次曲线的渐近线与其二次曲线或者没有交点，或者整条直线在二次曲线上。判断二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线线心曲线线心曲线5.5、二次曲线

4、的主直径与主方向1、主直径、主方向、轴、质点2、二次曲线的特征方程th1、一个方向成为二次曲线主方向的条件是成立，其中是特征方程的根证明：若二次曲线为中心二次曲线与共轭的直径为则若非中心二次曲线任何直径方向总是唯一的渐近方向而垂直于它的方向显然为eg1、求的主方向与主直径解：曲线为中心曲线，特征方程为由确定的主方向为由确定的主方向为eg2、求的主方向与主直径5.6、二次曲线的化简与分类一、平面直角坐标变换1、移轴为新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标2、转轴3、一般情形4、为了使新坐标系仍是右手系，使（1

5、）式中的符号与（2）式中的符号相同eg1、已知两垂直的直线取轴，求坐标二、二次曲线的化简与分类1、移轴，曲线方程系数的变化二次项系数不变一次项系数变为常数项变为2、转轴下，二次曲线系数的变化规律二次项系数要改变，但仅与原方程的二次项系数及旋转角有关一次项系数一般要改变，但仅与原方程的一次项系数及旋转角有关当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程没有一次项时，通过转轴也不会完全产生一次项。常数项不变通过转轴使新方程的，只须几何意义：把坐标旋转到与二次曲线的主方向平行的位置总结：通过转轴与

6、移轴化简二次曲线方程实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置因此，二次曲线的化简，只要先求出它的主直径，以其作为新坐标轴即可如果是中心曲线，有且只有一对相互垂直从二又相互共轭的主直径，主直径的交点恰是曲线的中心，化简后，坐标原点与中心重合如果是无心曲线，只有一条主直径，化简后，坐标原点与曲线的中心重合如果是线心曲线，只有一条主直径，坐标原点与曲线的任何一个中心重合若是中心曲线，选取新坐标系原点与曲线的中心重合，坐标轴与主直径重合（除圆外）若是无心曲线，选取新坐标系原点与曲线的顶点重合，坐标轴

7、与主直径重合eg1、化简二次曲线方程，并作出它的图形，，两个主方向eg2、化简顶点化简二次曲线解：曲线为非中心曲线，它的特征方程为特征根为：非渐近方向为：曲线的主直径为：曲线的顶点为：过点且与垂直的直线方程为取主直径为新坐标轴的轴，垂直与主直径且过点的直线为轴变换公式为代入已知方程得特征方程：化简解：，曲线为中心曲线，特征方程为：th1、适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个中心曲线：取它的一对即共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系原点是曲线中心坐标轴（主直径）的方

8、向为：1：0与0：1无心曲线：选取唯一的主直径为轴，而过顶点且以非渐近主方向为方向的直线为轴主直径的共轭方向：主直径方程为：顶点与原点重合，（0，0）满足曲线又而线心曲线：5.7应用不变量化简二次曲线方程中心曲线无心曲线线心曲线5.7、应用不变量化简二次曲线的方程一、不变量与半不变量三个不变量在直角变换下：一个半变量经过转轴不改变th1、当二次曲线为线心曲线时，在直角坐标变换下是不变量二、应用不变量化简二次曲线的方程其简化方程为简化方程为：线心曲线简化方