一般二次曲线的化简与分类.ppt

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1、4.2一般二次曲线的化简与分类（Simplificationandclassificationofgeneralquadraticcurves）在中学平面解析几何中,曾经学习了椭圆(圆)、双曲线和抛物线等圆锥曲线及其标准方程,它们都是二次曲线。本章讨论更一般的二次曲线。在平面直角坐标系下,关于x和y的二元二次方程所表示的曲线，称为一般二次曲线（a11，a12和a22不全为零）。4.2.1一些常用记号（Notations）为了以后讨论问题和书写的方便,引进下面的一些记号：根据这些记号的含义,可验证下面的恒等式成立：F(x,y)=xF1(x,y)+yF2(x,y)+F3(x,y)称F(

2、x,y)的系数所组成的矩阵为二次曲线(4.2-1)的系数矩阵,或称F(x,y)的矩阵再引入几个记号：例1试求二次曲线的系数矩阵A,F1(x,y),F2(x,y),F3(x,y),I1,I2,I3,和K1.解由以上记号知,4.2.2直角坐标变换下，二次曲线方程的系数变换规律（VariationlowofcoefficientsequationofquadraticcurvesunderDescartescoordinates）为了选择适当的坐标变换来化简二次曲线的方程，需要了解在坐标变换下方程的系数是怎样变化的。由上节讨论，知道一般的坐标变换可以分解为移轴和转轴两部分。因此，将分别考

3、察移轴变换和转轴变换对方程系数的影响。1)平移变换下二次曲线方程的系数的变化规律将平移公式：x=x+x0，y=y+y0代入曲线方程，化简整理，设曲线方程变为F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0比较方程系数，得平移变换下曲线方程系数的变化规律：(1)二次项系数不变；(2)一次项系数变为F1(x0,y0),F2(x0,y0)；(3)常数项变为F(x0,y0).若取新坐标原点O(x0,y0)满足方程则在新坐标系下,方程中将无一次项,曲线对称于原点,点(x0,y0)就是曲线的对称中心。如果对称中心是唯一的

4、,称为曲线的中心。此时方程称为中心方程。注：当I2≠0时,上一方程组就有唯一解,这时曲线称为中心型二次曲线；当I2=0时,方程组就没有解或有无穷多解,这时曲线称为非中心型二次曲线或无心型二次曲线。例2求二次曲线的中心.解(x0,y0)是对称中心必须且只需满足中心方程,即解得(x0,y0)=(0,3).所以(0,3)是曲线的中心.2)旋转变换下二次曲线方程的系数的变化规律将旋转公式：x=xcos–ysin,y=xsin+ycos代入曲线方程，化简整理，曲线方程变为F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a

5、33=0比较方程系数，得旋转变换下曲线方程系数的变化规律:(1)二次项系数一般可变,但新系下方程的二次项系数仅与旧系下方程的二次项系数及旋转角θ有关,而与一次项系数及常数项无关；(2)一次项系数一般也可变，但新系下方程的一次项系数仅与旧系下方程的一次项系数及旋转角θ有关，而与二次项系数及常数项无关；(3)常数项不变。根据公式的表达式，若选取θ角，使则方程中没有交叉乘积项。注：若要通过旋转变换消去交叉项，只须旋转角满足：a12=(a22-a11)cossin+a12(cos2-sin2)=0,即(a22-a11)sin2+2a12cos2=0从而得旋转角满足因为余

6、切的值可以是任意实数，所以一定存在满足上式。这就是说，一定可以通过转角消去交叉项。上式中的不是唯一的，为确定起见，一般规定0≤≤需要说明的是,我们为什么不用?这是因为当a11=a22时,该式没有意义,而完全可以决定旋转角θ=/4.当a12=0时,虽然也无意义,但这时方程中已经不含交叉项,就用不到转轴变换了.例利用转轴变换,消去二次曲线x2+2xy+y2-4x+y-1=0中的交叉项.解设旋转角为,由决定方程得可取,故转轴公式为：代入原方程化简整理得转轴后的新方程为4.2.3二次曲线的判别（Quadraticcurvediscriminant）从前面的讨论可知，二次曲线化

7、简的关键是如何消去方程中的交叉项xy和一次项。化简一般二次曲线方程，首先要判别二次曲线的类型，然后根据曲线的类型，采用不同的坐标变换。二次曲线的类型可以用I2来判别：当I2≠0时,二次曲线是中心型曲线；当I2=0时,二次曲线是非中心型曲线.又可以细分为以下3种类型：(1)椭圆型：I2>0，(2)双曲型：I2<0，(3)抛物型：I2=0。注：二次曲线类型判别的严格证明，参看后文的利用不变量化简曲线方程部分。4.2.4二次曲线的化简与作图（Simplificationan