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1、第24卷第6期攀枝花学院学报2007年12月Vo.l24.No.6JournalofPanzhihuaUniversityDec.2007基础理论研究用配方法对二次曲线方程分类与化简张三华(西华师范大学数学与信息学院四川南充637002)摘要通过对二次曲线方程配方变形,对二次曲线方程进行分类,化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数t的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系的平移,旋转,不变量对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定
2、图形具体位置等问题.关键词二次曲线:配方;分类:化简;参数。作者简介张三华(1963),四川南充人,西华师范大学数学与应用数学学院副教授,主要研究方向:微分几何.。1预备知识引理1在平面直角坐标系下,二次曲线方程经过仿射变换11x=a1x+b1y+c1,a1b1!0,11y=a2x+b2y+c2a2b2[1]的仿射对应图形仍为同类型的二次曲线,并且二次曲线的中心在仿射变换下仍对应二次曲线的中心。x=x0+tX,引理2在平面直角坐标系下,若直线方程,(-∀3、+2a23y+a33=0,(1)2相交,则交点所对应的参数t满足(X,Y)t+2[XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)]t+F(x0,y0)=0,其中22(X,Y)=a11X+2a12XY+a22Y=0,F1(x,y)=a11x0+a12y0+a13=0,F2(x,y)=a12x0+a22y0+a23=0,并且,当矢量={X,Y}为单位矢量时,
4、t
5、等于所对应的点M(x,y)与定点M0(x0,y0)之间的距离;当矢量={X,Y}为非零单位矢量时,
6、t
7、等于所对应的点M(x,y)与定点M0(x0,y0)之间的距离除以
8、
9、的商;[2]2F(x0,y0)当M0(x0,y
10、0)为两交点的中点时,交点所对应的参数t=-(X,Y)2二次曲线方程的分类因为F(x,y)=0为二元二次方程,所以二次项系数不全为零.若平方项的系数全为零,则交叉项的2x=(x-'y)',2系数不为零,a12!0,,作旋转变换,可以使方程中平方项的系数不全为零.因此在下面的2y=(x-'y)'2讨论中,总假设平方项的系数不全为零.2对于二元二次方程F(x,y)=0,不妨设a11>0,第一步,把x项与含有x的项配成完全平方项;第二22步,若此时y项的系数不为零,则再把y项与含有y的项配成完全平方项.因此二元二次方程F(x,y)经过上述配方变形为22F(x,y)=a11(x+
11、b1y+c1)+a2'2(y+c2)+a3'3=0(2)x='x+b1+c1,1b1若令因为=0!0,所以逆变换存在,即二元二次方程F(x,y)=0通过仿射y='y+c2,0171第24卷攀枝花学院学报第6期22变换可化简为F(x-'y)'=a11x'+a2'2y'+a3'3=0而(2)式中a11>0且a2'2!0,因此由引理1可知二次曲x+b1y+c1=0,线为中心二次曲线,且中心为方程组的解.若a2'2>0,则当a3'3<0时,为实椭圆;当a3'3>y+c2=0,0时,为虚椭圆;当a3'3
12、=0时,为实点(或称两相交于实点的共轭虚直线).若a2'2<0,则当a3'3时,为双曲线;当a3'3=0时,两相交实直线.2若对二元二次方程F(x,y)=0上述配方的第二步中y项的系数为零,则当y的系数不为零时,二元二次方程F(x,y)=0经过上述配方变形为2F(x,y)=a11(x+b1y+c1)+a2'2(y+c2)=0(3)x='x+b1y+c1,1b1若令因为=0!0,所以逆变换存在,即二元二次方程F(x,y)=0通y='y+c2,012过仿射变换可化简为F(x,'y)'=a11x'+a2'2y='0,此时曲线为无心二次曲线即为抛物线。2若对二元二次方程F(x
13、,y)=0上述配方的第二步中y项与y项的系数都为零时,二元二次方程F(x,y)=0经过上述配方变形为2F(x,y)=a11(x+by+c)+a3'3=0,(4)x='x+by+c,1b1若令因为=0!0,所以逆变换存在,即二元二次方程F(x,y)=0通过y='y,012仿射变换可化简为F(x,'y)'=a11x'+a3'3=0此时曲线为线心二次曲线.当a3'3<0时,为两平行实直线;当a3'3>0时,两平行共轭虚直线.当a3'3=0时,两重合实直线。定理在二元二次方程(
