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1、二次曲线方程的化简 一、平面坐标变换1.移轴和转轴：如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为(x,y)与(x¢,y¢)，则移轴公式为或式中(x0,y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为或式中a为坐标轴的旋转角.前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式.注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.2.一般坐标变换公式为或3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1为新坐标系中的横轴O¢x¢，而直线
2、l2为纵轴O¢y¢，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是(x,y)与(x¢，y¢),则有 其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响1．在移轴下，二次曲线F(x,y)ºa11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里 因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数不变；（2）一次项系数变为2F1(x0,y0)与2F2(x0,y0)；（3）常数项变为F(x0,y0).从而当二
3、次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.2．在转轴下，二次曲线F(x,y)ºa11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数一般要改变.新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.（2）一次项系数一般要改变.新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关.当原方程有一次项时，通过转轴不能完全
4、消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.（3）常数项不变.从而当二次曲线方程中a12¹0时，选取旋转角a，使,则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.三、二次曲线的方程化简1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.例1．利用移轴与转轴,化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18＝0；（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；（3）5x2＋12xy－22x－12y－19＝0；（4）x2＋2xy＋
5、y2＋2x＋2y＝0.解：（1）因为I2＝＝6¹0，所以曲线为中心曲线，由解得中心为(2,1)，作移轴变换代入曲线原方程，整理得5x¢2＋4x¢y¢＋2y¢2－12＝0.由ctg2a＝，即 ,得 tga＝－2，tga＝.不妨取tga＝，则由图5-1可得sina＝，cosa＝,作转轴变换 代入上述化简方程得6x²2＋y²－12＝0.即 .（如图5-2）.（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由ctg2a＝＝0,得 a＝.作转轴变换代入原方程，整理得＝
6、0,配方得＝0.作移轴变换 得到 x²2＋y²＝0,即x²2＝－y².（如图5-3）.（3）因为I2＝＝－36¹0，所以曲线是中心曲线，由 ,得中心(1,1)，作移轴变换代入原方程，整理得5x¢2＋12x¢y¢－36＝0.由ctg2a＝, 即 ,解得tga＝－，tga＝.不妨取tga＝，则由图5-４可得sina＝，cosa＝,作转轴变换代入上述方程整理得9x²2－4y²2＝36,即 .（如图5–5）.（４）因为I2＝＝0
7、，故曲线为线心曲线，由ctg2a＝＝0,得a＝，作转轴变换代入原方程，整理得＝0, 配方：.作移轴变换就有 x²2＝,（如图5-6）.2.利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得，所以.因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置.如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；
8、如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合.因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.例2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16
