伪Smarandache函数的一个下界估计.pdf

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1、第32卷第5期河南科学Vo1．32No．52014年5月HENANSCIENCEMav2014文章编号：1004-3918(2014)05—0707—04DOI：10．13537~．issn．1004—3918．2014．05．005伪Smarandache函数的一个下界估计高丽，郝虹斐，鲁伟阳(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)摘要：利用初等方法和组合方法，研究伪Smarandache函数在数列at,+b上的下界估计问题．结果证明了估计式z(0+6P)10p，其中P为3V5-g-于17的任意-tr．数，n与b

2、为任意不同的正整数．给出了伪Smarandache函数在数列0+b上的一个较强的下界估计．关键词：伪Smarandache函数；下界估计；初等方法；组合方法中图分类号：O156．4文献标识码：AALowerBoundEstimateforPseudo-SmarandacheFunctionGaoLi，HaoHongfei，LuWeiyang(CollegeofMathematicsandComputerScience，Yan’anUniversity，Yan’an716000，ShaanxiChina)Abstract：Thee

3、lementaryandcombinationalmethodswereusedtostudyalowerboundestimateproblemofPseudo—-Smarandachefuncti。nonSequence+6．ItisprovedtheEstimatez(。+6p)≥10p，wherepl7beanYprime，aandbaretwopositiveintegers．AlowerboundestimateofPseudo—SmarandacheFunctiononSequencea+bisgiven．Keyw

4、ords：Pseudo—。Smarandachefunction；lowerboundestimate；elementarymethod；combinationalmethod对于任意的正整数n，著名的伪smarandh。函数z(凡)定义为最小的正整数m，使得凡J，即为l)=min{m：ml}，其表示所有的正整数集合．依删雌义易得出：1，z(2)=3，z(3)=2，z(4)=7，z(5)=4，Z(6)=3，⋯．近年来大量学者对Z(n)的相关性质进行了研究，并得到不少有趣的结果．下界估计这方面，也有学者进行了相关研究，例如文献[4

5、]中，研究了s(22一1))的下界估计问题，其中p为奇素数，并证明了s(2～2—1))2p+1．文献[5]中温田丁研究了S(2+1)及s(2一1)的下界估计问题，当pl7为素数时，得到估计式：s(2+1)lOp+1，s(21)10p+1．文献[6]对s(n)在特殊数列n+bpL的下界估计问题进行了研究，证明了：当与b为仟意不同的正罄收稿日期：2013-11-20基金项目：国家自然科学基金资助项目(10271093)；陕西省科学技术研究发展计划项目(2o13JQlO19)；延安大学自然科学专项科研基金项目(YDZ2013—04)；

6、延安大学2014年研究生教育创新计划项目作者简介：高丽(1966一)，女，陕西绥德人，教授，硕士研究生导师，主要从事数论、函数论方面的研究郝虹斐(1988一)，女，陕西洛川1人，硕士研究生，研究方向为数论．——708——河南科学第32卷第5期数，P17为素数时，有．s(口+6)印+1．由于目前所能查到相关下界估计问题的论文基本为Smarandache函数S(n)在某一特殊数列上的下界估计问题的研究，关于伪Smarandache函数Z(n)在某一特殊数列上的下界估计问题的研究目前无文献可参考，至少查阅不到，本文受到这一启示，利用初

7、等方法及组合方法，研究了伪Smarandache函数Z(n)在特殊数列0，+上的下界估计问题，并得出了一个较强的估计式．本文的结果如下．定理设P≥17为素数，对任意不同的正整数a与b，有估计式z(口+6)2lOp．1相关引理引理1设P为奇素数，对于任意互素的正整数a及b，有(，n+6p．引理2n对任意素数P，正整数OL，tf(n，有(i)当PI时，有z(n)z(p)=p一1；(ii)当O／sp时，有zO,)=一1；当p￡时，有z()z()一1．2定理的证明这节我们将利用初等方法和组合方法给出定理的证明．由于n及b为互异的正整数，

8、我们可设(n，b)=d，因而有a=a。·d，b=b。·d，且满足(al,b。)=1，易得口+6=d·(n+6。)，由引理2知Z(ap+6)=z(d·(口。+61))z(口。+6l)．(1)由式(1)不失一般性，可设(口，b)=1，并且a·b>1．下面我们分两部分