两个近似伪Smarandache函数的均值计算.pdf

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1、2010年9月西安石油大学学报(自然科学版)Sep．2010第25卷第5期JournalofXianShiyouUniversity(NaturalScienceEdition)Vo】．25No．5文章编号：1673-064X(2010)05-0099-04两个近似伪Smarandache函数的均值计算李育英，付瑞琴，李学功(1．西安石油大学理学院，陕西西安710065；2．铜川职业技术学院，陕西铜川727031)摘要：利用初等方法研究了近似伪Smarandache函数与简单数相关的渐近性质的值性质，并给出了两个有趣的渐近公式．关键词：近似伪Smarandache函数；简单

2、数；渐近公式；均值中图分类号：0156．4文献标识码：A1引言及结论在文献[1]中，DavidGorski将伪Smarandache函数Z(／2)定义为最小的正整数t，使得Z(／2)=min{t：t∈N，／2f(1+2+3+⋯+t)}．在文献[2]中，A．W．Vyawahare将z(n)做了如下变换：添加了一个最小自然数七，从而定义了一个新的函数()，即：对任意的正整数，K()=m，这里m=∑i+尼是使n能整除m的最小正整数．称这个函数K(n)为近似伪Smarandache函数．在文献[3]第23个问题中，如果一个正整数／2的真因子的乘积不超过忍，就称为简单数．令A表示所有

3、简单数的集合，即有A={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，l4，l5，17，l9，2l，⋯{．容易看出，n有4种情形，即n=P，或n=P。，或n=P。，或n=Pq，这里P，g是不同的素数．本文利用初等数论方法研究了近似伪Smarandache函数与简单数相关的渐近I生质，并给出了2个渐近公式，即证明了下面定理：定理1任意实数≥1，令4表示所有简单数的集合．则有)=+B3++o()．其中B是一个可计算的常数．定理2对任意实数≥1，令4表示所有简单数的集合．则有南(Inlnx)邶lnl似+E+0()·其中D和E都是可计算的常数．2几个引理为了完成定理的证明，需要

4、引入下面几个引理：引理1设n为任意正整数，则有收稿日期：2010—07—19作者简介：李育英(1960一)，女，讲师，主要从事应用数学方面的研究．E-mail：lizhang@xsyu．edu．Cn·———100．．——西安石油大学学报(自然科学版)K(n)：+证明参阅文献[2]．一4引理2设P是～个素数，则有：、．／一、．，一一∑≤当P：3当lnx+。91n。+。。u(Iln3)／；’(1)22是p：是++。()；(2)奇偶数数∑时P0时fIln1J．’(3)P≤P∑≤Po()．(4)证明首先证明第一个式子．注意到仃()=志++。()．由Ahel恒等式可得333∑P=7r

5、()f7r(t)2tdt=+彘3+。()一2一++』1口≤2f。(d)。()一了2x3一号3+o(t2d)=3⋯1nx4·’-91+。r，(f～)t．n戈。＼】n，．利用同样的方法可以推出其他3个式子：七∑p≤p加()∑pp3《一pZ≤p：丌(2—6㈩=。(、11I)≤p≤洒一㈤内=D(、In／1于是完成了引理2的证明．引理3设P和g都是素数，则有32戈112x3ln∑Pqm”3ln+’9ln1ln1x+。。u(Iln2)／；’(5)P≤荟pq=2nn2+x丽21nlnx+。()(6)证明只需证明式(5)即可，类似于式(5)的推导即可得式(6)的证明．注意到当<1fl~~1

6、1=l+++。+⋯++．一，于是可得q：[÷1,(x／一pt)印3"+。()]=3hp(-一)+11虿(S"x3t+fl+291nZx~P。lnx(7)o++。(盎委)当m>2时，注意到仃()=一IrL~c++o()，于是有8李育英等：两个近似伪Smarandache函数的均值计算。lra-1'-2+1~F+Dlnx／盎+==c，一J／2~'tr(y)12一I’＼，2、m一一2I／lnm-lx1一(8)n++。(≥nx)=1n+。(去n)+·一p注意到是收敛的并根据式(8)有，，未古(，+lnx+一～。lnUmp，)=Minx+(C-lnln2)+。()∑+1I1lnx+0

7、(1))+⋯+一p【lnmX+O(士n)1+．一=lnlnx+Ct+(I’+i‘)+。()_lnl⋯cz+(9)01)．＼l利用同样的方法可得委(⋯lnx+3ln2x+．．一(m+1)!nmP+．．．)+C3+。()(10)其中使用了估计式∑-ln+c+。()和：llnx+0(1)·<-4~Pp于是由式(7)、式(9)和式(10)有x3[01x3。0、1)]+0(丢寺)3⋯⋯(11)同时可得：【+0(】‘=。()，(12)p≤√q≤√J⋯⋯其中使用了估计式=2X2+D(1)．D≤√’v所以由式(11)和式(12)可