包含伪Smarandache函数与Euler函数的两个方程-论文.pdf

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1、第31卷第6期陕西科技大学学报VoL31NO．62013年12月JournalofShaanxiUniversityofScience&TechnologyDec．2013文章编号：1000—5811(2013)06—016303包含伪Smarandache函数与Euler函数的两个方程高丽，鲁伟阳，郝虹斐(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716O00)摘要：利用初等方法以及伪Smarandache函数Z(n)和Euler函数(n)的性质，讨论了两个数论函数方程()一Z(n)与Z()+()一2n的可

2、解性问题，并求出所有正整数解．关键词：伪Smarandache函数；Euler函数；正整数解中图法分类号：O156．4文献标识码：ATwoequationsinvolvingthePseudo—SmarandachefunctionandEulerfunctionGAOLi，LUWei—yang，HAOHong—fei(Co11egeofMathematicsandComputerScience，YananUniversity，Yanan716000，China)Abstract：Themainpurpo

3、seofthispaperistostudythesolvabilityoftwoequationsandbyusingelementarymethodsandthepropertiesofthePseudo—SmarandachefunctionandtheEulerfunction．Allpositiveintegersolutionsofthemaregiven．Keywords：Pseudo—Smarandachefunction；Eulerfunction；positiveintegersolu

4、tions究了Z()的性质，给出Z(2p)，Z(3p)，Z(2p)，0引言Z(3p。)，Z(2p)，Z(3p)，Z(4p)，Z(5p)，Z(6p)，对任意的正整数，z，著名的伪Smarandache函Z(7p)，Z(11p)，(其中P为素数)的表达形式；数Z(n)定义为最小的正整数m使得YuanbingLou[研究了一个包含伪Smarandache函数的均值问题，得到了一个渐近式：l，即z()一min{m：∈N，∑lnZ(n)：xlnx+0()；1)．从z()的定义可以计算出z()厶LinCheng[也讨

5、论了一个包含伪Smaran—的前几个值为：z(1)一l，z(2)一3，z(3)一2，z(4)dache函数的均值，得到渐近式：一7，Z(5)一4，Z(6)一3，Z(7)一6，Z(8)一15，Z(9)一lnx+Iz(n)。n-z+～0(＼in外32)；一8，Z(10)一4，z(11)一10，⋯，关于Z()的初等性质，许多学者进行了研究，并获得了不少有意义的YaniZheng[证明了对任意的正整数与足结果．例如：KenichiroKashiharall研究了Z(佗)够大的M，+一>M和lz(+1)一z()l>

6、的一些初等性质；A．A．K．Majumdar进一步研*收稿日期：2013-10—29基金项目：国家自然科学基金项目(10271093)；陕西省教育厅专项科研计划项目(07JK430)；延安大学自然科学专项科研基金项目(YDZ2013—04)；延安大学2013年研究生教育创新计划项目作者简介：高丽(1966)，女，陕西绥德人，教授，硕士生导师，研究方向：数论陕西科技大学学报第31卷M成立．(ii)当，z—(≥3)，t>1时，(P)一p(P张文鹏教授讨论了方程Z()一S()和一1)，Z(p)=P一1，()≠Z

7、(p)，所以”一PZ(n)+1一S(n)的正整数解问题；不是方程(1)的解．范盼红]在其硕士论文中研究了方程Z()一(iV)当===z⋯，其中P≥3(i一1，2，⋯(”)可解性问题，并给出解有如下形式：，f)时，()一z一⋯一(pl一1)(2一(1)—p，其中P为素数；(2)一2p，其中P三1)⋯(一1)，如果(n)一Z(n)成立，则由函数1(rood4)；(3)=2kp，其中，P三1(rood4)，且z()的定义知：I旦兰，即：P(2一1)．”z一”⋯，”l本文作者前期已经对方程()一Z(n)的可。”一

8、”⋯p；_。(1—1)(2—1)⋯(P一1)，解性问题进行了研究．在此基础上，本文利用初等亦即：方法讨论两个方程()一Z(n)与Z(”)+()一1h1+2+⋯；hf十12n的可解性问题，并给出其所有正整数解．(一1)(P一1)⋯(P一1)，显然不成立．1基本定义及引理所以一；z⋯不是方程(1)的解．(2)当为偶数时，可分为以下3种情况讨论：定义Euler函数()定义为不大于”且与(i)当=：：2(t≥1)时，(2)一2，Z(2