关于伪Smarandache函数的一个混合均值-论文.pdf

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1、第33卷第2期NATURALSCI海EN南CE大JO学U学RN报AL自O然FH科AI学NA版NUNIVERSITYVo1．33No．22015年6月Jun．2015文章编号：1004—1729(2015)02—097—03关于伪Smarandache函数的一个混合均值王曦洽，高丽，鲁伟阳(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)摘要：对任意的正整数n，著名的伪Smarandache函数z(n)定义为最小的正整数m使得nIm(m+1)／2．即Z(n)=min{m：nIm(m+1)／2，m∈N}．对任意的正整数n，算术函数(n)定义(1)：0，当n>1且n=Pl“·．：仁

2、lhP：”⋯pkak为n的标准分解式时，(n)=。P。+P2+⋯+P．利用初等方法和解析方法研究了伪Smaran．dache函数Z(n)与算术函数力(n)的混合均值问题，并得到一个较强的渐近公式．关键词：伪Smarandache函数；算术函数；混合均值；渐近公式中图分类号：0156．4文献标志码：ADOI：10．15886／j．cnki．hdxbzkb．2015．13017∑=量对任意的正整数aT著名的伪Smarandache函数z(n)定义为最小的正整数m使得nlm(m+1)／2，即：Z(n)=min{m；nIm(m+1)／2，m∈N}．有关伪Smarandache函数z(n)

3、的问题，有不少学者研究过且取得不少成果卜．如LouYuanbing[31研究了一个包含伪Smarandache函数的均值，即证明了∑Inz()=In+D()；n≤ChengLin证明了渐近式aixZ(n)ln+。1n+。Du(赢1n)笔者曾讨论了Smarandache双阶乘函数与伪Smarandache函数的复合函数．s《z(n))均值，即证明了∑Sdf(Z(n))n≤对任意的正整数n，算术函数(n)定义为(1)=0，当n>1且n=PP：⋯p(其中P为素数，1≤i≤)为n的标准分解式时，(n)=P+：P+⋯+．显然此函数是一个完全可加函数，即对任意的正整数m及n，有(mn)=(m

4、)+()．文献[6]研究了函数()的均值问题，并给出一个较强的渐近公式2c∑(n)n≤一刍+．其中，C(i=1，2，⋯，k)为可计算的常数且c。=订／12．本文主要利用初等及解析的方法研究伪Smarandache函数z(n)与算术函数(n)的混合均值问题，并得到一个较强的渐近公式．定理1设≥2是给定的正整数，则对任意的实数≥2，有渐近式收稿日期：2015—01—21基金项目：陕西省科技厅科学技术研究发展计划项目(2013JQ1019)；延安大学校级科研计划项目一引导项目(YD2014—05)；延安大学研究生教育创新计划项目．作者简介：王曦洽(1990一)，女，陕西乾县人，2014

5、级硕士研究生．通信作者：高丽(1966一)，女，陕西绥德人，教授，硕士生导师，研究方向：数论、函数论，E—mail：yadxgl@163．com98海南大学学报自然科学版)·S一2(n)=+aix3+D()，(2)其中，a(i=1，2，⋯，k)为可计算的常数．1相关引理引理1对任意的正整数n和，有1≤z(n)≤2n一1，当=2时，z()=2n一1；当=P时，z(n)=n一1，其中P为奇素数；若n为任意的合数时，Z(凡)=max{Z(m)：mln}．引理2设≥2为实数，则有仃()+D‘)，其中Ci(=1，2，⋯，)是常P≤1¨1■11数且C1=1．2定理的证明将l1，j中的所有整数

6、分为3个集合A，B和C，其中集合A={nI=2，k=1，2，⋯}；集合B包含所有满足：存在奇素数P使得Pl的正整数n，并Rp满足P>；而集合C包含区间[1，]中不属于集合A和B的正整数n．首先在集合A中讨论，由引理1可知∑z(n)。g2(n)=∑z(n)·(2)=∑2k·z(n)=∑2k·(2n一1)《∑《．(3)搿⋯一其次在集合B中讨论，由引理1知∑z(n)·t一2(凡)=∑z(n)·(n)=∑Z(np)·(印)=∑z(p)[p+(n)]=n≤≤np≤np≤n6Bpln，p>npnp∑(p一1)[p+t一2(n)]=∑∑P+∑∑P(n)一印≤n≤、／n‘p

7、