【硕士论文】包含Smarandache函数和欧拉函数的方程及其性质的研究.pdf

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1、中文摘要众所周知，数论的一个重要内容就是研究数论函数的各种性质．从古到今，数学家们对各种数论函数的性质进行了研究，得到了许多重要的结论，从而促进了数论的不断向前发展．1991年，罗马尼亚数论专家FlorentinSmarandache出版了(OnlyProblems，NotSolutions!))～书，引起许多学者的关注．在这本书里，F．Smarandache教授提出了105个有关特殊数列、算术方程等方面的问题与猜想．许多学者对这些问题和猜想进行了深入的研究，获得了很多具有重要数学理论价值的科研成果

2、．在此基础上，他们也提出了很多与Smarandache函数和经典数论函数有关的问题，并对它们进行了研究与探索．基于对Smarandache函数的兴趣，本文采用了初等数论与解析数论中的基本方法与理论，对一些与Smarandache函数相关的方程的可解性进行了研究．具体来说，文章的主要成果包括以下几个方面：1．利用初等方法解决了同余方程1s(n一1)+2s(n一1)+⋯+(佗一1)sm一1)+l三0roodn的可解性问题，最终得到该方程有且只有三个素数解．2。利用分类讨论的方法研究了一个与瓦(扎)和Eu

3、ler函数有关的方程的可解性问题，得到了该方程的所有正整数解．3．根据Z(n)和五(凡)的性质，研究了方程z(n)+五(仡)=扎的偶数解问题．当n属于n=2七和n=2plp2⋯m，2

4、ythepropertiesofarithmeticalfunctions．Lotsofmathematiciansstudiedthevaluableconclu—propertiesofallkindsofarithmeticalfunctionsandgotmanysionsaboutthem，whichpromotedafurtherdevelopmentofnumbertheory．Thebook“Onlyproblems，Notsolutions!’’publishedin1991att

5、ractedmanywaswrittenbyRomanianexpertofnumbertheorypeople：Sattention，whichFlorentinSmarandache．Inthisbook，professorF．Smarandacheputforward105arithmeticalproblemsandconjecturesaboutspecialsequencesandarithmeticalfunctions．Manyscholarsresearchedandexplore

6、dtheseproblemsdeeplyandandgotmanyvaluableconclusions．Furthermore，someresearchersproposedstudiedsomenewandinterestingproblemsaboutSmarandachefunctionsandtheclassicalarithmeticfunctions．BasedontheinterestinSmarandachefunctions．thedissertationmakesresearc

7、hesonthesolvabilityofsomeequationsaboutSmarandachefunctionsbyusingelementaryandanalyticways．Specifically,thedissertationgetsthefollowingresults：1．ThesolvabilityofacongruentequationaboutlS(n一1)+2s(n一1)+⋯+(n一1)s(n一1)+1三0rood佗isstudied，andalltheprimenumbe

8、rsolutionsoftheequationaregivenbyusingtheelementarymethods．2．Theequationincluding页(n)andEulerfunctionisstudiedbythemethodofclassification，andallthepositiveintegersolutionsareobtained．3．Accordingtothepropertiesofz(n)and乙(n)，theequationz(