终极破产概率的一个下界估计

《终极破产概率的一个下界估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、精算学苑精算通讯第四期终极破产概率的一个下界估计王晓川林肯国民上海代表处-39-精算学苑精算通讯第四期对于终极破产概率的估计是精算学科中的一个热点。在国外有众多的研究文献，经典的教科书有文[1]。在国内也开始有简单的介绍(见文[2])。由于终极破产概率的实际计算难度较大，因此研究终极破产概率的一个方面是对其上下界进行估计。例如Veylder和Goovaert(1984)的研究(见文[3])。本文的目的是给出终极破产概率的一个简单的下界公式。本文的组织结构如下:首先简单介绍终极破产概率的概念，其次给出终极破产概率的一个下界公式和证明，最后举例说明其应用。1.终极破产

2、概率所谓终极破产概率，简单地说就是保险公司的最终理赔损失减去保费收入后超过初始保险准备金的概率。当最终理赔损失超过了保费收入和初始准备金的总和，保险公司便无力支付所有投保人的理赔损失。一般称之为破产。当然最终破产只是一种可能性，终极破产概率越大，破产的可能性也越大;反之，终极破产概率越小，破产的可能性就越小。为了便于分析，这里我们给出终极破产概率的数学符号和表达式:1)U为初始的保险准备金。2)是时间t内的理赔损失。其中，N(t)表示在时间t内发生的损失次数，一般是一随机变量。Xi表示第i次损失发生时的损失值，也是一随机变量。3)(1+q)tp1是时间t内的保费收

3、入,其中，q为安全附加系数，p1是单位时间内的纯保费收入(在精算公平原则下)。换句话说p1是单位时间内的期望理赔值。在给定了以上的符号定义之后，终极破产概率Y(U)可以表示成:在这里，表示在时间[0,)的范围内，理赔损失减去保费的上确界。如果这个差值大于U(也就是大于初始保险准备金)，则破产发生。表示终极破产的概率。需要指出的是，终极破产理论之所以是精算学科研究的一个热点，原因之一是：保险公司在制定保费时的一个原则是在市场竞争的保费下，使得终极破产概率相当的小(理想的状态是终极破产概率为零，实际上这是不可能的)。因此，首当其冲的一个问题是对于终极破产概率的估计。理

4、论上，在相当一般的假设下，终极破产概率是可以用计算公式表示的，然而实际的计算却是相当的复杂困难。于是，研究终极破产概率的一个方面是研究其上下界。2.终极破产概率的一个下界公式在这一节里，我们给出终极破产概率的一个下界估计。该下界公式是建立在Beekman定理(见文[4]和[5])。在一般的假设下，Beekman(1968)给出了一个终极破产概率的计算公式。定理1(Beekman，1968):假设1){Xi}是非负的独立随机变量序列，每一个Xi有概率分布函数P(x)，其数学期望E(X)<¥;2){N(t),t³0}是一个独立于{Xi}的随机过程，并满足泊松分布条件:

5、,3)h>0,U³0,p1=E(X),(A)这里，,(A)式给出了终极破产概率的数学公式。形式上很简洁漂亮，实际运算却十分困难复杂。其中涉及到n次卷积运算。从(A)式无法直接窥探y(U)的性质。在这里本文给出y(U)的下界估计公式。定理2:在和定理1相同的假设条件下，我们有(B)这里，证明:1)首先我们证明,对于-41-精算学苑精算通讯第四期=(根据积分中值定理)==(注意是递增的)反复重复以上的过程可以得到:即(C)2)应用定理1和(C)(因为)最后，。1.关于终极破产概率下界估计的说明和实例(1)在(B)式中，给出了的下界。此式中只包含对的积分（不含有卷积），

6、容易计算。所以如果的精确值无法求出（现实中常常如此）由(B)式可以很快得出其下界的估计，它表明终极破产概率至少大于或等于。因此，从质的范围里划定了的下界。(2)在文[1]中，Bowers等人(1991)也给出了的一个下界估计式。(D)其中，R是下面方程的正解(R>0):(E)R称为调节系数，同时m为某一有限数，使得P(m)=1。比较(B)和(D)，首先在(B)中有可能达到其下界。而在(D)中是绝对不等式，也就是说绝不可能达到。因此(D)中的下界大都比(E)中的下界要小。其次，(B)中的下界计算直接了当，而(D)中的下界估计要通过解带有期望的非线性方程(E)，而且要

7、要求存在。同时，还得假定存在某一有限数m，使得P(m)=1。因此当我们假定损失分布函数服从对数正态，Γ－分布等常见的连续型分布函数时，m便无法找出。比较而言，本文给出的下界估计较文[1]中的下界估计更为理想。(3)当U=0时，也就是初始保险准备金为0时，(B)式给出。实际上，从定理2的证明过程中，很容易看到此时等于其下界。即:(F)(F)是破产理论中很著名的结果(见文[1]第414页)。在这里，我们可以看到它仅是(B)中的一个特例。下面，我们举一个例子，具体说明其应用。例:假设θ=0.3，U=40，并且经过简单计算这表明在安全系数为0.3，初始准备金为40的情况下

8、，终极破产