非负矩阵Perron根上下界的估计 (1)

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1、独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。签名：熬盏．日期：加净I肭日关于论文使用授权的说明本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或部分内容

2、编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。(保密的学位论文在解密后应遵守此规定)签名：越芷一导师签名：妞日期：．Z007年／月加曰第一章绪论非负矩阵即元素非负的矩阵，在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位。非负矩阵谱半径估计即Fcrron根的估计，是非负矩阵中最重要的课题之一。在工程上，矩阵的特征值具有广泛的应用，如大型桥梁或建筑物的振动问题；机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题；无线电电子学及光学系统的电磁震、信息系统、经济学中的一些问题与矩阵的特征值问题密切相关。在科学上，计算流体力学、统计计算、量子力学、化学

3、工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题，最后都归结为矩阵的特征值问题。由于特征值问题在许多学科中具有广泛的应用，因此矩阵特征值的界的估计及求解的理论研究等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题。非负矩阵的谱半径估计是由Pcrron发现并开创的，发现了具有正元素的方矩阵的若干奇特的性质，不久Frobcnius进一步推广了Pcrron的成果，那就是从有正元素的正矩阵的推广到非负元素的非负矩阵上去，特别是非负不可约的情形，得到了著名的Perron．Frobcnius定理。这个定理是关于非负矩阵谱半径的一个优美结果。自此以后，非负矩阵理论一阵是线性代数

4、最活跃的领域之一，并且在数学的许多分支以及社会科学和社会科学的许多领域都得到了大量的应用。1．1Pcrron根上下界估计的基本思想如何依赖非负矩阵的各元素来对它的Pc玎on根进行估计一直是矩阵计算中非常重要和困难的问题。在这方面我们有著名的Gcrschgorin圆盘定理还有与之相关的Ostrowski定理和Brauer定理，以及我们经典的Pcrron-Frobenius定理。目前许多新的研究方法已经应用于Pcrron根的估计当中去：我们可以利用矩阵的相似变化来估计PeIron根的取值范围，我们可以利用圆盘定理在二维的空间中画出特征值的区域，还可以利用矩阵特

5、征值和迹的关系进行大小估计，所有的这些方法可以应用到不同的矩阵类。由于对矩阵实行相似变换后特征值仍然是不变的，所以我们可以对满足某些性质的非负矩阵，通过选择简单的相似变化来增大它的最小行和或者减小它的最大行和来改进不等式。而且，如果相似变化前后的矩阵都是正矩阵，那么我们还电子科技大学硕士学位论文可以结合Brauer不等式，得到4的Perron根更好的估计。简单方便好实现的Perron根的估计的方法一直是矩阵谱的估计的重要的研究的重要内容。用算法实现Perron根的估计就是比实用的方法。文献f3】中构造了矩阵对角变换的算法来进行Perron根的估计，这种方法

6、很有效，并且可以得到任意想要的精确度。还有一种算法就是一Pe肿n余，最早是由Meyer提出并用于非负不可约矩阵的唯一标准化特征向量的计算。LinzhangLu推广了这一概念，他用Perron余和Perron根的关系构造了比较有效的算法，我们将在后面作～定的介绍。还有一种方法就是用迹来表示矩阵特征值，这是矩阵谱论的一个比较重要的内容。从20世纪80年代以来，国内外已经有很多的成果。在用迹来估计特征值中有以下几种主要的方法：从矩阵特征值的均值的标准差与矩阵迹的关系来确定特征值的简单适用的上下界；从矩阵的迹与秩的关系来讨论矩阵的最大特征值；由于前者没有后者那么多

7、限制条件，因而其结果的适用范围很广在用矩阵的迹估计矩阵特征值的方法中。1．2本文主要工作本文首先介绍非负矩阵Perron根发展的历史及现状，然后分别沿用三种历史上不同的方法：一般相似变换估计某些特殊矩阵Perron根，利用对称变换和矩阵的迹估计非负矩阵的Perron根，对角变换估计非负矩阵Perron根。利用这几种方法都得到了较为优越的结果，并给了数值例子加以验证。用前人的结果讨论了一种特殊的非负Persymmetric矩阵的Perron根的下界估计。最后讨论了分块非负不可约矩阵Perron根，并给出了其下界估计的序列。2第二章非负矩阵Perron根的相关

8、定理及发展现状2．1非负矩阵的Perron根计算非负矩阵Perfo