非负矩阵谱半径上下界的估计

《非负矩阵谱半径上下界的估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、南开大学学位论文版权使用授权书本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。学位论文作者签名：吴潺睇zpD罗年‘月中曰经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。指导教师签名：学位论文作者签名：解密时间：年月日各密级

2、的最长保密年限及书写格式规定如下：≯～⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯——⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯“⋯⋯‘、l内部5年(最长5年，可少于5年)；l；秘密★lo年(最长10年，可少于10年){；；机密'k20年(最长20年，可少于20年){南开大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。学位论文作者签名：吴觏学2009年舌

3、月于日第一章非负矩阵的基本概念如果一个矩阵的所有元素都是非负实数，则称这个矩阵为非负矩阵。非负矩阵在经济学，概率统计，最优控制，计算机，工程学上有着广泛的应用。在非负矩阵的理论中，对最大特征值的估计尤其重要，是非负矩阵的重要理论之一。非负矩阵的系统研究是Perron从1907年的工作开始的，他首先发现了正矩阵的若干特殊性质，这些结论在不久后由Frobenius进一步推广到了非负矩阵，特别是非负不可约矩阵的情形，得到了著名的Perron-Frobenius定理。到了上世纪中期，通过A．Brauer，0．Taussky，RS．Varga，A．0strowski等人的工作，形成了非负矩阵的系统的

4、理论。从此，对非负矩阵的研究成了数值代数的最活跃的领域之一，并且在数学的许多分支，自然科学工程和社会科学的许多领域得到了。重要的应用。1．1非负矩阵和正矩阵设R”表示实数域R上所有N元数组x=(x，x29oo，K)T构成的N维向量空间。设胪表示实数域R上所有mxn矩阵A2(au)一的集合。如果矩阵A=(au)嗽。的所有元素a日≥0，则称矩阵A为非负矩阵，记为A>O。如果a日>0，则称A为正矩阵，记为A>0。矩阵A2(a日)似。的n个特征值五，五，⋯丸组成的集合称为A的谱，记为or(A)，即仃(A)={互，五，⋯五)。矩阵A的特征值的模的最大值称为A的谱半径，记为p(内，即p(砷=max{I

5、^I，I五I'．．·，I^1)．定义1．1．1[1】设A2ao，B=‰∈∥“，如果对于所有的i,j都有ao>‰，则记A>B。对任意矩阵A_-(aij)∈C肭，用IAI表示A的元素取模之后得到的非负矩阵，即IAl=(Ia。I)。第一章非负矩阵的基本概念定理1．1．1【2】(Perron)设AeR僦，如果A>0，则，(1)p(訇为A的正特征值，且存在正向量y∈Rn使得Ay=p(A)y，(2)对于A的任何一个其他的特征值，都有I五I<户(砷，(3)p(砷是A的单特征值。这个定理对于一般的非负矩阵并不一定成立，比如设矩阵A=0b0bO0a其中0

6、力一a)(名一b)2(五+b)，(1．1)所以户(A)=b，并且A有对应于特征值p(訇的特征向量盯=(s，s,t，0)，其中S,t可以取正数，但是夕(啕=b不是A的单特征值，A没有对应于特征值夕(砷=b的正特征向量，并且A有异于b的特征值力=-b使得I五I_p(砷。一般的，有以下的结论：定理1．1．2【5】设A∈妒，如果A≥0，则户(訇为A的特征值，且有特征向量x≥0．定理1．1．3(KyFan)[3】设A=(a日)似。为n阶复矩阵，B=峨)似。为n阶非负矩阵，且满足IAI

7、现在我们把结论推广到更一般的情形。定义1．2．1【4】4设A为一方阵，如果存在一个置换矩阵P，使得PApT=(龛1甜∽3，其中A。和A：为两个低阶方阵，则称A是可约的，否则称A是不可约的。给定一个矩阵A，直接根据定义很难判断其是否可约，下面的定理给出了判断一个非负矩阵是否可约的办法。定理1．2．1【5】5设A是一个n阶非负矩阵，则A是不可约矩阵的充要条件是存在正整数m≤n-1，使得(I+砷“>0．(1．4)下面给出重要的