某些迭代矩阵谱半径的上界估计

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第3卷第1勰应用教学与计算数学学报VoJ．3．NrO．i1989年4月c0MM．ONAPPL．MATH．ANDC0MPUT．April．1989某些迭代矩阵谱半径的上界估计胡家赣(应用物理与计算教学研究所)UpperBoundoftheSpectralRadiiofSomeIteratlveMatricesHuJiagan(Jn对j，啦．of^蹭PdPfc5。Compn?ingMathernofcs)'．Abstract，Inthispapertheconcepto

2、ftheoptima!lyscaledmatrixandtheestimateoflMIlN5inourpreviouspaperisusedtofindtheupperboundsofthespectralradiioftheiterativematrices，SOR，ssoR。AoRandSAOR．ThesharpnessoftheupperboundsofthespeetratradiiofSO'RandAORis．established'．Theproofsareveryin-tuitiveandmayb

3、econsideredasthegeometricalinterpretation8ofOUrtheorems，1：弓『言在一些文献中对SORSSOR速代矩阵的谱半径的上界进行了估计例如对SOR的迭代矩阵’。=．(D—wL)一[(】一)D+U](I)的谱半径p‘)早有估计(侧如[1])。．p)≤II+wp(L，I)，当。≤≤_p(2)此处设为所考虑的线性代数方程组=．．．(3)的系数矩阵，D=diagA非奇异，r占=D-A而工和分别为的下三角阵和上三角阵，为松弛因子，，=D口为的Jacobl迭代矩阵，又设p(I，

4、I)<1，即为非奇异H阵．在[2]中Neumann和Varga还证明了尊)申钧界是精确的(Sharp)，亦即是可以达到或无限接近的，对SSORO?审的上屏．为J。)≤1+o(121)-当。≤南§l『：(4)，此处本文19B7年4月17日收蓟维普资讯http://www.cqvip.com某些迭代矩阵谱半径的上界估计S=：(上)一wuj1[(I一)D+二](D一)1[(1-w)D+跚u]t5)本文用[4]中的最优尺度矩阵的概念和矩阵Ⅳ的估计得出了SOR，AOR，SSOR：SAOR选代矩阵谱半径的土界，对后二者，我们

5、得出的上界为{l1一l+p(1，1)}2它小于(4)中的上界，又对的谱半径P)上界的精确性，我们从几何图形上加以吩斩，从而很形象地证明了精确性，并且用这种方法很容易地证明了AOR选代矩阵⋯谱半径上界的精确性，这祥的证明也可看成SOR和AoR谱半径的上界稆上界的精确性的几何解释．‘§2．SOR，SSOR，AOR，SAOR谱半径的上界估计首先列出[4]中的葙关定理作为本文的引理．引理1设M=()和Ⅳ一(n。J)为n阶方阵，!>善!mtl2”·n，(6)p(M一Ⅳ)≤—Nil*~

6、．引理2设为n阶不可约方阵，D=diagA非奇异．B=D-A，则有正对角阵0=diag1．叮2，⋯，)，使矩阵一(口)=AQ有l口t，l／la“l—p(1D1．1lBI)=p(ID【IBI)一p(I，1)，扛=1，2．⋯，n．’(8)⋯且除常数因子外．这种Q是唯一的，从而除常数因子外．这种是唯一的．上式中我们记白一a~'．g24．=西一．又称为A的最优尺度矩阵．利用这两个引理就可以得出我们的估计式．定理1若为不可约非奇异阵，。如·(。)则对(1)和(5)的NOR迭代矩阵和SSOR迭代矩阵分别有估计式(2)及p(s

7、)≤{l1一∞I+∞p(1，1)}2(10)证明由引理2，存在正对角阵Q和最优尺度矩阵A=AQ使(8)式成立．但蹋为非奇异阵．故p(1，1)<1，从而为严格对角占优矩阵一．=．>鬻I·f1，2j*o*,tl·(11)团此由(9)有维普资讯http://www.cqvip.com应用势j计算数学学报3券％l—善f≥～l+p(1，_1)善I。=可1)I+E每一I1I}2∑l0“l>～～T>i-o，1十pL【Jl从而可用引理l于(1)申的筻i作扪应的的SOR迭代矩阵多，这样有～l1一l·i0“l+暑l0一

8、。(。)皇

9、

10、0(簟)≤J≤max———=一—————!L一I一∞l0lJt+一ll—l+Wp(1Ji)-1．0∑Jl／l~rrlax————————=———。———一——‘1一∑l／l一≤二maX二l±三—=l罨最后的不等式是在分子分母上同时加暑e“l／i。“i丽得的，其成立的条件为分子不大于；分母．即1l—l+wp(1，1)≤1．(t2)在定理的条件下这显然是成立的，故征丁(2)．