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1、第31卷第5期电子科技大学学报Vol.31No.52002年10月JournalofUESTofChinaOct.2002*迭代法迭代阵谱半径新上界**112高中喜黄廷祝王广彬(1.电子科技大学应用数学学院成都610054；2.上海大学数学系上海200436)【摘要】引用双严格对角占优的概念，针对线性方程组Ax=b在求数值解时常用的迭代方法，给出了Jacobi和Gauss-Seidel迭代法迭代阵谱半径的新上界，该新上界优于严格对角占优矩阵条件下得到的已有的结果,是已有结果在更广泛矩阵类条件下的推广，对相应迭代法迭代阵谱半径的估计更加精确。最后给出
2、了数值例子说明所给结果的优越性。关键词线性方程组;双对角占优;迭代法;谱半径中图分类号O241.6;O151.2ANewUpperBoundfortheSpectralRadiusofIterativeMatrices112GaoZhongxiHuangTingzhuWangGuangbin(1.CollegeofAppl.Math.,UESTofChinaChengdu610054;2.Dept.ofMath.,ShanghaiUniversityShanghai200436)stractJacobiandGauss-Seideliteratio
3、nsforsolvinglargelinearsystemAx=barestudied.Basedontheconceptofthedoublydiagonaldominance,newupperboundforthespectralradiusofJacobiandGauss-Seideliterationsarepresented.Resultsobtainedimprovetheknowncorrespondingresultsandaresuitedtoextendedmatrices.Finally,twonumericalexample
4、saregivenforillustratingadvantageresultsinthispaper.Keywordslinearsystem;diagonalstrictlydominance;iteration;spectralradius大型方程组求解的迭代法之重要问题是研究相应迭代法迭代阵谱半径的估计，它对于研究迭代法收敛性以及收敛速度等是非常有意义的。文献[1~3]对于严格对角占优矩阵的情形进行了研究，但严格对角占优矩阵由于条件较强，往往不便于应用。下面引入双严格对角占优矩阵的概念，得到关于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法迭
5、代阵谱半径上界新的好的估计。1注记n,nn,n设R为阶实矩阵的全体n,A=(a)∈R,记ijnN=,2,1{?,n}，R(A)=
6、a
7、，
8、
9、A
10、
11、=max
12、a
13、，∀i,j∈N。i∑ij∞∑ijii≠jj=1[1]定义1若
14、)aa
15、>R(AR(A),∀i,j∈N,i≠j，则称A为双严格对角占优矩阵，记A∈C。iijjij在求解线性方程组Ax=bA非奇2002年6月4日收稿*四川省跨世纪杰出青年科技学术带头人基金资助项目，编号：JSA1081**男27岁硕士生第5期高中喜等：迭代法迭代阵谱半径新上界543求解过程中，常将A分裂为A=D−L−U，其中D=
16、diag(a,a,?,a),L是矩阵A的严格下1122nn三角矩阵，U是矩阵A的严格上三角矩阵。[2，3]下面给出两种重要的迭代法：1)Jacobi迭代法k+1kx=Bx+f−1−1其中B=D(L+U)，f=Db。2)Gauss-Seidel迭代法k+1kx=Mx+g−1−1其中M=(D−L)U，g=(D−L)b。⎛n⎞[4]n,n⎜⎟引理1设A=(a)∈R,则A的每一特征值均落在下述个Cassini卵形域O并集之中ij⎜⎟ij⎝2⎠O:
17、λ−a
18、
19、λ−a
20、≤R(A)R(A)∀i,j∈N且i≠j。ijiijjij[1，5]引理2设A∈C,则A非奇。
21、[2，4]n,n定理1设A=(a)∈R,则ρ(A)≤
22、
23、A
24、
25、。ij∞2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法迭代阵谱半径上界的估计定理2设A∈C，则Jacobi迭代法迭代阵谱半径ρ(B)的上界1ρ(B)≤max(R(L+U)R(L+U
26、)aa
27、)2i,j∈Nijiijji≠j−1证明因为A∈C，所以a≠0。设λ为D(L+U)的任意特征值，则ii−1det(λI−D(L+U))=0即det(λD−(L+U))=0−1故使λD−(L+U)∈C的λ均不是D(L+U)的特征值，即当2λ
28、aa
29、>R(L+U)R(L+U)iijjij−1−1λ一定不是
30、D(L+U)的特征值，所以若λ为D(L+U)的特征值时，由引理1可知，至少有一对i,j(i≠j)，使得2λ
31、aa
32、≤R(L
