迭代矩阵谱半径.ppt

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1、《数值分析》10迭代法的收敛性Convergenceofiterativemethod迭代矩阵谱半径Spectralradius对角占优矩阵diagonallydominantmatrix原始方程:Ax=b记(k)=x(k)–x*(k=0,1,2,3,······)则有(k+1)=B(k)(k)=B(k-1)(k=1,2,3,······)迭代格式:x(k+1)=Bx(k)+fx(k+1)–x*=B(x(k)–x*)设方程组的精确解为x*,则有x*=Bx*+f2/15(1)(k)=B(k-1)=B2(k-2)=··

2、·=Bk(0)(2)迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f收敛！！3/15证:由(k)=B(k-1),得

3、

4、(k)

5、

6、≤

7、

8、B

9、

10、

11、

12、(k-1)

13、

14、(k=1,2,3,······)所以命题若

15、

16、B

17、

18、<1,则迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收敛

19、

20、(k)

21、

22、≤

23、

24、B

25、

26、k

27、

28、(0)

29、

30、

31、

32、B

33、

34、<14/15矩阵A的谱设n阶方阵A的n个特征值为:则称集合为A的谱.记为chA矩阵A的谱半径注1:当A是对称矩阵时,

35、

36、A

37、

38、2=(A)注2:对Rn×n中的范数

39、

40、·

41、

42、,有(A)≤

43、

44、A

45、

46、特征值取模最大5/15定理4.

47、1迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收敛<=>谱半径ρ(B)<1证:对任何n阶矩阵B都存在非奇矩阵P使B=P–1JP其中,J为B的Jordan标准型其中,Ji为Jordan块6/15其中,λi是矩阵B的特征值,由B=P–1JPBk=(P–1JP)(P–1JP)···(P–1JP)=P–1JkP迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收敛<=>(i=1,2,···,r)(i=1,2,···,r)谱半径(B)<17/15Ans=1.2604e-005例线性方程组Ax=b,分别取系数矩阵为试分析Jacobi迭代法和Seidel迭代法的敛散性

48、D=diag(diag(A1));B1=D(D-A1);max(abs(eig(B1)))(1)A1=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1]8/15DL=tril(A1)B1=DL(DL-A1)max(abs(eig(B1)))Ans=2(2)A2=[2,-1,1;1,1,1;1,1,-2]D=diag(diag(A2))B2=D(D-A2)max(abs(eig(Bj)))Ans=1.11809/15DL=tril(A2)B2=DL(DL-A2)max(abs(eig(B2)))Ans=1/2两种迭代法之间没有直接联系

49、对矩阵A1,求A1x=b的Jacobi迭代法收敛,而Gauss-Seidel迭代法发散;对矩阵A2,求A2x=b的Jacobi迭代法发散,而Gauss-Seidel迭代法收敛.10/15定理4.2:设x*为方程组Ax=b的解若

50、

51、B

52、

53、<1,则对迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f有(1)(2)误差估计定理11/15证由

54、

55、B

56、

57、<1,有

58、

59、x(k+1)–x(k)

60、

61、=

62、

63、(x*–x(k))–(x*–x(k+1))

64、

65、≥

66、

67、(x*–x(k))

68、

69、–

70、

71、(x*–x(k+1))

72、

73、≥

74、

75、(x*–x(k))

76、

77、–

78、

79、B

80、

81、

82、

83、(x*–x

84、(k))

85、

86、=(1-

87、

88、B

89、

90、)

91、

92、(x*–x(k))

93、

94、所以

95、

96、x(k+1)–x*

97、

98、≤

99、

100、B

101、

102、

103、

104、x(k)–x*

105、

106、x(k+1)–x*=(Bx(k)+f)–(Bx*+f)=B(x(k)–x*)12/15所以x(k+1)–x(k)=(Bx(k)–f)–(Bx(k-1)–f)=B(x(k)–x(k-1))

107、

108、x(k+1)–x(k)

109、

110、≤

111、

112、B

113、

114、

115、

116、x(k)–x(k-1)

117、

118、误差估计:13/15定义4.1A=(aij)n×n,如果则称A为严格对角占优阵.例4.19>

119、-1

120、+

121、-1

122、10>

123、-1

124、+

125、-1

126、15>

127、-1

128、+

129、-1

130、

131、

132、a11

133、>

134、a12

135、+

136、a13

137、

138、a22

139、>

140、a21

141、+

142、a23

143、

144、a33

145、>

146、a31

147、+

148、a32

149、14/15定理4.3若Ax=b的系数矩阵A是严格对角占优矩阵,则Jacobi迭代和Seidel迭代均收敛证:由于矩阵A严格对角占优由A矩阵构造Jacobi迭代矩阵BJ=D-1(D–A)第i行绝对值求和所以15/15矩阵的条件数概念方程组Ax=b,右端项b有一扰动引起方程组解x的扰动设x是方程组Ax=b的解,则有化简,得由Ax=b得所以12/16定义条件数:Cond(A)=

150、

151、A–1

152、

153、

154、

155、A

156、

157、或C(A)=

158、

159、A–1

160、

161、

162、

163、A

164、

165、

166、当条件数很大时,方程组Ax=b是病态问题;当条件数较小时,方程组Ax=b是良态问题注:13/16类似,设方程组Ax=b,矩阵A有一扰动时,将引起方程组解x的扰动设x是方程组Ax=b的解,则有化简,得取范数14/16阶数456条件数19.4×105